5-4. ВОЗБУЖДЕНИЕ ЦИЛИНДРА БОЛЬШОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РАДИУСА

Для вывода формул, обеспечивающих быструю сходимость рядов типа (5-5) и (5-8) при значениях 1, в литературе обычно используется метод Ватсона. Этот метод заключается в преобразовании рядов, входящих в формулы (5-5) и (5-8), в контурные интегралы по комплексному переменному — индекс цилиндрических функций). После «того интегралы вычисляются в виде суммы вычетов в полюсах подынтегрального выражения.

Рис. 5-13. Возбуждение цилиндра полоской синфазного тока.

Мы решим эту задачу иным путем, используя подход, примененный Зоммерфельдом [Л. 2] для решения задачи о возбуждении сферы большого электрического радиуса.

Для упрощения выкладок ограничимся случаем возбуждения цилиндра бесконечной синфазной полоской тока. При желании этот результат можно обобщить на случай полоски тока с бегущей волной. Итак, рассмотрим идеально проводящий цилиндр радиусом а, возбуждаемый бесконечной полоской синфазного электрического или магнитного продольного тока (рис. 5-13). Вид тока мы конкретизировать не будем. Таким образом, объемная плотность стороннего тока будет определяться выражением

Векторный потенциал этого тока согласно формулам (1-30) и (1-92) должен удовлетворять уравнению

Решение уравнения (5-32) представим в виде разложения по собственным волнам, распространяющимся в азимутальном направлении (в направлении координатных линий

В разложении (5-33) в отличие от (2-20) и (2-22) радиальные функции не являются истокообразными (имеющими особенность в точке расположения источника), а представляют собой собственные функции мембранного типа. Функции же здесь являются истокообразными. Следовательно, решение (5-33) оказывается еще одним представлением решения волновых уравнений (1-30) в цилиндрической системе координат. Если разложения (2-20) и (2-22) соответственно представляли решение в виде волн, бегущих вдоль оси z или в радиальном направлении, то теперь мы конструируем решение в виде суммы азимутальных волн.

Наша задача будет состоять в том, чтобы найти вид функций удовлетворяющий уравнению (5-32) и граничным условиям. Условие излучения на бесконечности уже обеспечено выбором радиальных функций

Граничное условие на поверхности цилиндра требует, чтобы выполнялись условия:

и

Следовательно, условия (5-34) определяют допустимый набор собственных чисел Заметим, что не может быть целым числом.

Мы будем брать лишь корни уравнений (5-34) с положительной вещественной частью и суммирование по полной системе этих корней обозначим через 2. Позднее мы остановимся на вопросе о расположении корней и их вычислении.

Подставим теперь решение (5-33) в уравнение (5-32):

Но из уравнения Бесселя следует:

тогда

Умножим левую и прсвую части (5-35) на и проинтегрируем произведение по от а до :

Чтобы вычислить интеграл в левой части (5-36), запишем разность двух уравнений Бесселя; одного — для функции и второго — для функции умножив предварительно каждое из них на решение другого:

От обеих частей равенства (5-37) возьмем интеграл по от а до интегрируя при этом по частям правую часть:

Подстановка верхнего предела обращает в нуль правую часть в силу условия излучения на бесконечности, а подстановка нижнего предела обращает в нуль правую часть за счет граничных условий (5-34). В результате получаем:

Выражение (5-38) является соотношением ортогональности радиальных функций. Величина есть норма этих функций. Ее можно определить следующим образом:

Отсюда, принимая во внимание (5-34), получим: для случая возбуждения электрическим током

для случая возбуждения магнитным током

Таким образом, выражение (5-36) с учетом (5-38) перепишется в виде:

Соотношение (5-41) является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка относительно функций Для его решения воспользуемся методом вариации постоянных. Неизвестную функцию представим в виде:

Варьируя постоянные, найдем:

Подставив это выражение в (5-33), получим обшее решение уравнения (5-32), удовлетворяющее граничным условиям (5-34) и условиям излучения на бесконечности:

Это решение представлено в форме, удобной для случая расположения точки наблюдения внутри области сторонних токов. Первый интегральный член в фигурных скобках описывает волны, бегущие от источников по часовой стрелке (в направлении возрастающих значений а второй — волны, движущиеся от источников против часовой стрелки.

Если точка наблюдення лежит правее области источников в пределах интегралов в (5-42) следует подставить Тогда второй интегральный член пропадет в точку наблюдения будут приходить от источников лишь волны, движущиеся но часовой стрелке.

В том случае, когда точка наблюдения расположена левее области источников в пределах интегралов вместо подставляем обращая в нуль первый интегральный член.

Выражение (5-42) является суммой частного решения неоднородного уравнения (5-32) и общего решения соответствущего однородного уравнения. Это выражение справедливо для любой клиновидной области, внешней но отношению к идеально проводящему цилиндру, с произвольными граничными условиями на стенках клина.

Значения постоянных будут определяться видом граничных условий.

В нашем случае, когда мы имеем дело с цилиндром, окруженным свободным пространством, постоянные должны

быть найдены из условия равенства тангенциальных составляющих электромагнитного поля, найденных при обходах цилиндра по часовой стрелке и против часовой стрелки. Легко убедиться, что для выполнения этих условий достаточно потребовать равенства потенциалов и их производных по

Потенциал в некоторой точке, характеризуемой углом (положим для определенности можно в соответствии с (5-42) определить, либо учитывая волны, движущиеся от источника по часовой стрелке:

либо учитывая волны, движущиеся от источника против часовой стрелки (эти волны приходят в ту же точку, пройдя угол

Приравняем потенциалы и их производные

Из этих равенств находим:

Подставив найденные значения в (5-42), получим:

Выражение (5-43) представляет собой окончательное решение задачи в двух различных формах.

Возможен и другой путь решения уравнения (5-41), при котором вместо сшивания полей в некоторой точке на искомую функцию накладывается условие периодичности за счет представления ее в виде ряда Фурье. Для этого разложим функцию распределения стороннего тока в ряд Фурье:

где

Неизвестную функцию также представим в виде ряда Фурье:

Подставив (5-44) и (5-45) в (5-41), определим коэффициенты разложения (5-45):

Следовательно, функция будет иметь вид:

В силу известных тождеств [Л. 3]:

мы можем представить выражение для потенциала в трех различных формах:

Выражение (5-47a) совпадает по форме с (5-43), а в выражениях (5-47б) и (5-47в) каждая азимутальная гармоника, характеризуемая числом представлена в виде бесконечного набора волн, каждая из которых целое число раз обежала вокруг цилиндра и пришла в точку наблюдения. В выражении (5-47б) число определяет комплексную амплитуду каждой такой волны; целое число принимая положительные

и отрицательные значения, определяет волны, бегущие по часовой стрелке и против часовой стрелки. В выражении (5-47в) играет роль комплексной постоянной распространения азимутальных волн; два слагаемых в квадратных скобках представляют собой пару волн, движущихся по часовой стрелке и против нее, а целое положительное число показывает, сколько раз каждая из волн обежала вокруг цилиндра. Как будет установлено ниже, поэтому с увеличением т. е. с увеличением пути, пройденного вокруг цилиндра, азимутальные волны будут затухать. Выбор той или иной формы решения определяется конкретными условиями задачи и осуществляется, исходя из удобств дальнейшего анализа.

Для расчета по формулам (5-43) и (5-47) необходимо прежде всего знать корни уравнений (5-34). Имеется ряд способов вычисления этих корней в зависимости от вида аппроксимации функций Мы рассмотрим здесь аппроксимацию Ганкеля — Лангера [Л. 4]; способы вычисления корней на основе других представлений функций читатель может найти в монографии [Л. 5].

Аппроксимация Ганкеля — Лангера, дающая высокую точность при больших значениях аргумента, имеет вид:

где

Взяв первый член аппроксимации, мы можем вместо уравнения (5-34а) записать:

Обозначим Тогда с помощью известных соотношений для цилиндрических функций

можно переписать уравнение (5-49) и виде:

Определив корни трансцендентного уравнения (5-50) и пользуясь формулой

мы можем найти корень уравнения в виде разложения

Значения коэффициентов для рассчитаны в работе [Л. 6] и приведены в приложении II (табл. 1). Чтобы найти корни второго из уравнений (5-34), также воспользуемся асимптотическим выражением (5-48) для функций Ганкеля с комплексным индексом и соотношением

Тогда вместо уравнения мы можем приближенно написать:

При правая часть этого уравнения стремится к нулю и можно считать, что

Обозначив снова мы можем вместо (5-52) записать:

Найдя корни уравнения (5-53), можно затем определить корень уравнения (5-346) в виде ряда

где коэффициенты для взятые из работы [Л. 6], приведены в приложении II (табл. 2).

Таким образом, корни как это видно из (5-51) и (5-54) и табл. 1 и 2, растут с увеличением и имеют отрицательную мнимую часть; их действительная часть положительна и превышает Последнее обстоятельство говорит о том, что фазовая скорость азимутальных волн, обегающих цилиндр, меньше скорости света.

Для проведения расчетов по формуле (5-43) необходимо знать также значения производных входящие в выражения (5-39) и (5-40) для нормы Используя асимптотику (5-48), можно получить выражения в виде ряда

коэффициенты которого для имеются в приложении II (табл. 3).

Значения производной в соответствии с соотношением

(так как дифференцирование проводится вдоль линии нулевого уровня функции и уравнением Бесселя

можно найти из функционального уравнения

где определяется из выражения (5-54):

а заменяется аппроксимацией Ганкеля—Лангера (5-48).

Оценка сходимости ряда в формуле (5-43) показывает, что этот ряд сходится для значений больших нуля. Чем больше величина тем быстрее сходимость.

При расчете поля в дальней зоне в формуле (5-43), а также в формулах (5-47) следует заменить функцию Ганкеля ее асимптотическим представлением для больших значений аргумента:

Тогда формула (5-43) примет вид:

Представим зависящий от угла множитель члена ряда (5-55) в виде:

Такое представление изображает каждый член ряда (5-55) в виде двух волн, обегающие цнлннлр в противоположных направлениях. В литературе эти волны иногда называют «ползущими».

Поскольку корни уравнений (5-34) с положительной действительной частью лежат в четвертом квадранте из выражения (5-56) следует, что этот множитель будет затухать при т. е. в зоне тени! Следовательно, ряд (5-55) будет быстро сходиться при и углах, соответствующих зоне тени источника, за исключением значений, слишком близких к или .

В освещенной зоне суммирование ряда (5-55) можно, вообще говоря, осуществить с помощью преобразования Эйлера. На практике, однако, для расчета поля в освещенной зоне пользуются приближением геометрической оптики, основанным на работе В. А. Фока [Л. 7]. О использовании методов геометрической оптики для решения рассматриваемой задачи будет также сказано в гл. 9.

Рис. 5-14. Амплитудные и фазовые диаграммы направленности в зоне тени продольной нити магнитного тока на цилиндре.

На рис. 5-14 приведены диаграммы направленности продольной нити магнитного гхжа, лежащей на цилиндрах с электрическими радиусами При расчете для случая учитывались 15 членов ряда (5-55), а для случая оказалось достаточным взять 4 члена. Если сравнить графики, показанные на рис. 5-14, а, с графиками, рассчитанными по формуле (5-23) для , то можно убедиться, что в диапазоне углов нет заметных различий между этими кривыми.

Лишь при углах близких к границе зоны тени, ряд (5-55) дает погрешность за счет ухудшения сходимости.