4-2. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПЕРЕВАЛА К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПОЛЯ НИТИ ТОКА НАД ПЛОСКОСТЬЮ В ЗОНЕ ИЗЛУЧЕНИЯ

Определим электромагнитное поле нити тока, лежащей над плоской границей раздела, в зоне излучения, т. е. при большом удалении точки наблюдения от нити. Для упрощения рассуждений будем считать, что среда 1 не имеет потерь Параметры среды 2 могут быть любыми. Вида тока, текущего по нити (электрический или магнитный), пока конкретизировать не будем.

Рис. 4-3. Контур интегрирования в формуле (4-2).

Наша задача будет состоять в том, чтобы найти более простые выражения для векторных потенциалов падающего, отраженного и преломленного поля в зоне излучения.

Обратимся к выражению (4-2), представляющему в интегральной форме векторный потенциал падающего поля. На плоскости комплексного переменного путь интегрирования проходит вдоль вещественной оси от до причем в процессе интегрирования необходимо миновать точки ветвления подынтегральной функции и Эти точки ветвления следует обойти по полуокружностям

бесконечно малого радиуса так, чтобы точка оказалась выше контура интегрирования, а точка ниже контура. Для обоснования этого факта надо предположить, что среда 1 имеет исчезающие малые потери Тогда волновое число

будет иметь исчезающе малую отрицательную мнимую часть и точка к будет лежать ниже вещественной оси, а точка — выше нее. Поскольку мы желаем провести контур интегрирования так, чтобы он оставался верным как при наличии потерь в среде 1. так и при отсутствии их, этот контур должен выглядеть так, как показано на рис. 4-3.

Рис. 4-4. Система координат для вычисления отраженного поля.

Введем полярную систему координат (рис. 4-4) и сделаем замену переменных При отображении контура интегрирования на плоскости к, на соответствующий контур на плокости надо пользоваться выражением

У многозначной функции (4-16) выбрана такая ветвь, чтобы сходимость интеграла происходила при Заметим, что в соответствии с выбором контура интегрирования на плоскости следует при полагать

Таким образом, с учетом сделанных замен выражение (4-2) примет вид:

Контур интегрирования 1 показан на рис. 4-6. Ввиду того что подынтегральная функция не имеет полюсов, этот первоначальный

контур можно деформировать произвольным образом, лишь бы при этом выполнялось условие излучения на бесконечности, т. е. условие сходимости интеграла (4-17) при Для обеспечения этого условия необходимо, чтобы выполнялось неравенство Имея в виду, что предыдущее неравенство можно записать в таком виде: Отсюда следует, что в верхней полуплоскости допустимыми значениями являются , а в нижней полуплоскости такими значениями должны быть . В силу периодичности функции областями допустимых значений будут также области при и области при где — любое целое число, положительное или отрицательное. На рис. 4-5 для случая заштрихованные области соответствуют тем участкам плоскости, по которым может проходить контур интегрирования в (4-17) при деформации контура 1.

Рис. 4-5. Контуры интегрирования в формуле (4-17).

Для различных значений угла наблюдения — эти области будут смещаться вправо или влево; при этом контур 1 всегда будет находиться в области допустимых значений

Для вычисления интеграла (4-17) воспользуемся методом перевала, который представляет собой метод приближенной оценки интегралов вида:

при больших значениях положительного параметра Функции являются аналитическими на контуре С. Интегралы подобного вида часто встречаются в задачах электродинамики, когда возникает необходимость определить поле на большом удалении от источника или отражающей поверхности. Мы не будем останавливаться на строгом

математическом обосновании метода перевала, предполагая, что читатель при желании может обратиться к соответствующей литературе, например [Л. 1]. Наша задача будет заключаться в том, чтобы продемонстрировать применение этого метода. Основная идея метода перевала состоит в выборе такого контура интегрирования, при котором основное значение интеграла определяется сравнительно небольшим участком контура.

Обозначив в соответствии с приведем к виду:

где С — любой контур, удовлетворяющий указанным выше требованиям.

Мы должны найти на контуре С участок, где подынтегральная функция имеет максимальное значение. Такой участок располагается в окрестности точки, в которой следовательно, и достигает наибольшего значения на контуре. Функция является осциллирующей. В нашем случае принимает на контуре С максимальное значение, равное нулю, в точке Однако функция представляющая собой вещественную часть аналитической функции не может согласно теореме о среднем иметь в области аналитичности точки максимума или минимума, а может иметь лишь точки перевала (седло-вые точки). В этих точках

После того как положение точки перевала найдено, необходимо провести через эту точку контур С таким образом, чтобы убывало наиболее быстро вдоль этого контура при удалении от точки перевала. Это укорачивает участок пути, определяющий величину интеграла, и упрощает оценку. Пусть направление наиболее быстрого изменения будет а будет перпендикулярным ему направлением. Иначе говоря, направление есть направление вектора и производная, взятая в этом направлении (и в противоположном направлении), имеет наибольшее по абсолютной величине значение. Вследствие того что направление градиента нормально к линиям уровня . С другой стороны, из условия Коши — Римана следует, что Следовательно, линия наибыстрейшего изменения, совпадает с линией т. е. с линией постоянной мнимой части функции (с линией стационарной фазы функции Путь интегрирования

определяется уравнением где значение в точке перевала. Точка перевала находится в общем случае из условия

так как на пути интегрирования . В нашем случае это дает следующее: точка перевала в точке перевала Вблизи точки перевала функцию можно представить в виде ряда, удержав в нем лишь два первых члена:

Положим Тогда уравнение требует, чтобы иначе говоря ведет от точки перевала в незаштрихованную область). Итак, путь интегрирования полностью определился (рис. 4-5). Теперь остается провести оценку интеграла (4-19) по этому пути. Ввиду того что интеграл (4-19) можно записать в следующем виде:

Здесь через обозначена окрестность точки перевала, причем 6 произвольно мало и не зависит от

После подстановки пределы интегрирования для становятся равными Тогда

Таким образом, с помощью метода перевала нам удалось получить приближенное выражение для векторного потенциала падающего поля, справедливое при Это выражение с точностью до множителя совпадает с асимптотическим выражением для функции Ганкеля которое мы приводили в § 2-2. Оно описывает цилиндрическую волну, которую при больших можно считать локально плоской волной,

распространяющейся в направлении . В общем случае при оценке интегралов вида (4-18) необходимо разлагать в ряд по степеням вблизи точки перевала также функцию Тогда, если ограничиться одним членом ряда, приближенное выражение для при можно записать в виде:

Когда в рассматриваемой области имеется несколько точек перевала, т. е. уравнение имеет несколько решений, путь интегрирования следует проводить через наиболее крутой из перевалов. Если же на контур интегрирования попадет несколько точек перевала, то следует взять сумму выражений (4-22) по всем этим точкам.

Особо следует выделить случай, когда при деформации первоначального контура интегрирования в контур перевала приходится пересекать точку полюса подынтегральной функции. В такой ситуации к выражению (4-22) следует добавить вычет в этом полюсе. Если точка перевала оказывается расположенной близко к точке полюса, то необходимо пользоваться модифицированным методом перевала, изложенным в работе

Теперь найдем отраженное поле в зоне излучения. С этой целью введем полярные координаты для зеркального источника (см. рис. 4-4): и, полагая запишем (4-9) и (4-14) в виде:

Применим к интегралам (4-23) и (4-24) метод перевала при Точка перевала будет а контур перевала пройдет так же, как при вычислении интеграла (4-17) (см. рис. 4-5). Направления будут почти параллельными, и можно считать, что . В соответствии с формулой (4-22) получим:

Обозначим в (4-25)

а в (4-26)

Коэффициенты называются коэффициентами отражения Френеля. В теории распространения радиоволн случай, когда электрическое поле имеет вертикальную составляющую, называется случаем вертикальной поляризации, и поэтому коэффициент Френеля (4-27) помечен индексом а случай, когда электрическое поле полностью поляризовано параллельно поверхности земли, называется случаем

горизонтальной поляризации. В связи с этим коэффициент Френеля (4-28) имеет индекс «Г». Легко видеть, что

где индексом «О» помечены комплексные амплитуды полей.

Коэффициенты отражения можно рассматривать как комплексные амплитуды токов зеркальных источников в выражениях (4-25) и (4-26). Согласно теореме взаимности (см. § 3-5) с помощью коэффициентов отражения можно определить в точке наблюдения, лежащей вблизи границы раздела, отраженное поле плоской волны, падающей из бесконечности. Для проверки справедливости этого положения следует нить тока поместить в бесконечно удаленную точку, а точку наблюдения расположить в точке в которой раньше находилась нить, и применить теорему взаимности.

Рис. 4-6. Система координат для вычисления преломленного поля.

Перейдем теперь к нахождению преломленного поля в зоне излучения. Предполагая, что направление движения волн при переходе из среды 1 в среду 2 должно измениться, введем полярную систему координат с центром в точке О (рис. 4-6). Угол обычно называют углом падения, а угол — углом преломления. Декартовы координаты точек выразятся в этой системе следующим образом:

Полагая запишем (4-10) и (4-15) в виде:

Оценим интегралы (4-29) и (4-30) методом перевала при . Контур перевала будет совпадать с изображенным на рис. 4-5, а точкой перевала по-прежнему будет точка Считая функцию

медленно меняющейся и включив ее в функцию с помощью формулы (4-22) получим:

Если синус угла падения и синус угла преломления связать соотношением

выражающим известный закон Снелля для преломления, то вместо (4-31) и (4-32) можно записать:

Из этих выражений следует, что поле в точке наблюдения создаваемое удаленной от границы раздела нитью тока, представляет собой цилиндрическую волну, приходящую под углом Угол связан с углом падения соотношением (4-33). Коэффициенты преломления Френеля можно найти как отношения комплексных амплитуд магнитного (для вертикальной поляризации) или электрического (для горизонтальной поляризации) поля во второй и первой среде:

Проанализируем полученные выше формулы. Сначала рассмотрим случай, когда обе среды не имеют потерь. В этом случае соотношение (4-33) можно записать в виде:

где — фазовые скорости волн в первой и второй средах, а — относительный показатель преломления.

Если

и каждому углу падения О соответствует действительный угол преломления

Если

В этом случае волна падает из более плотной среды в менее плотную и угол будет действительным только для тех углов падения для которых выполняется условие

Рис. 4-7. Зависимость коэффициентов отражения от угла падения. а) -вертикальная поляризация; — горизонтальная поляризация.

При возникает явление полного отражения. Электромагнитная энергия волн, падающих под углами в среду не проникает.

На рис. 4-7 приведены графики, иллюстрирующие характер зависимости модуля и фазы коэффициентов отражения от угла падения Эти графики рассчитаны по формулам (4-27) и (4-28) в предположении, что как это имеет место в большинстве практически важных задач, в частности в задаче о излучении горизонтальной проволочной антенны над землей. Явление полного отражения на этих графиках изображается участком, где модуль коэффициента отражения становится равным единице. Другой важный

факт, который можно установить, анализируя формулы (4-27) и (4-28), состоит в том, что при некотором коэффициент отражения может обратиться в нуль. Приравняв нулю числители в (4-27) и (4-28), найдем:

для вертикальной поляризации

для горизонтальной поляризации

Электромагнитная энергия волны, падающей под углом проходит из среды 1 в среду 2, не отражаясь от границы раздела. Угол называется углом полного преломления, или углом Брюстера.

Интересно отметить, что при в случае вертикальной поляризации

а в случае горизонтальной поляризации полного преломления не наблюдается (оно возможно лишь при т. е. при наличии лишь одной среды). В соответствии с этим на графиках на рис. 4-7, построенных для сред с одинаковой магнитной проницаемостью, модуль коэффициента отражения обращается в нуль лишь в случае вертикальной поляризации.

Теперь рассмотрим случай, когда одна из сред, скажем среда 2, является проводящей. Волновое число второй среды будет комплексным:

Поскольку закон преломления (4-33) выполняется при любых параметрах сред, угол преломления будет комплексной величиной. Поле в среде 2 при большом удалении от источника будет локально иметь характер неоднородной плоской волны, затухающей вдоль направления распространения.

Такую волну мы уже рассматривали в § 2-5. Важным является случай хорошо проводящей среды . В этом случае

Как мы уже говорили, при большом удалении от источника поле преломленной волны можно представить в виде плоской волны, распространяющейся в направлении, определяемом углом Например, для горизонтальной поляризации можно записать:

Таким образом, при большой проводимости среды преломленное поле имеет характер плоской волны, движущейся в направлении нормали к границе раздела. Степень затухания волны и направление ее движения не зависят от угла падения.

Из-за сильного затухания амплитуда поля быстро убывает при удалении от границы раздела в сторону отрицательных z. Можно считать, что поле в основном сосредоточено около границы раздела. Это явление называется скин-эффектом. Область существенных значений поля обычно называют скин-слоем. Толщина скин-слоя по порядку величины равна глубине проникновения

введенной в § 2-5.