1-5. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ И ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

Далее среда будет предполагаться не только изотропной, но и однородной, поскольку многие задачи электродинамики могут быть сведены к этому случаю. При этом уравнения (1-19) и (1-20) удобно записать в следующем виде:

где комплексная диэлектрическая постоянная среды;

— комплексная магнитная постоянная среды.

Уравнения (1-20а) отличаются от уравнений (1-20) и соответствуют уравнениям непрерывности, записанным в виде:

где — сторонние электрические и магнитные заряды.

Что касается граничных условий, то для нормальных к поверхности раздела двух сред составляющих поля они вместо (1-11) и (1-12) запишутся так:

где — поверхностные сторонние электрические и магнитные заряды.

От уравнений (1-19а), которые связывают векторы Е и Н, для решения некоторых задач электродинамики удобно перейти к уравнениям, в которые входит или только вектор Е, или только вектор Н.

Произведя в уравнениях (1-19а) взаимную подстановку, получим:

где — квадрат волнового числа.

Если учесть векторное тождество и принять во внимание (1-20а) и (1-24), то уравнения (1-25) сведутся к следующим:

где

Уравнения (1-26) представляют собой векторные неоднородные волновые уравнения относительно векторов поля Е и Н. Они являются линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами. Оператор А есть оператор Лапласа.

Для тех точек пространства, в которых источники отсутствуют, неоднородные уравнения (1-26) переходят в однородные:

Неудобство волновых уравнений для векторов поля (1-26) во многих случаях заключается в сложности выражений в правой части этих уравнений. Поэтому оказывается полезным введение электродинамических векторных потенциалов: — для электрических токов и — для магнитных токов. При этом нетрудно показать, что напряженность электрического поля Е и напряженность магнитного поля Н связаны с векторами соотношениями, аналогичными соотношениям (1-27), выражающими векторы через векторы

Эти соотношения имеют вид:

После подстановки выражений (1-29) в уравнения (1-26) получатся следующие волновые уравнения для электродинамических векторных потенциалов:

В правой части уравнений (1-30) стоят просто возбуждающие токи, и поэтому более удобно иметь дело с решением уравнений (1-30), а не уравнений (1-26).

Уравнения (1-29) и (1-30) могут быть записаны и в несколько другом виде. Если в правой части уравнения (1-30) вместо стороннего тока подставить полный ток проводимости, определяемый уравнениями (1-4а), то комплексные диэлектрическая и магнитная постоянные в (1-29), а также комплексное волновое

число в (1-30) должны быть заменены диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью и волновым числом Это замечание относится ко всем выражениям данного параграфа.

При решении некоторых задач электродинамики, в частности дифракционных, часто вместо векторных потенциалов пользуются векторами Герца: для электрических токов и — для магнитных токов. Векторы Герца связаны с векторными потенциалами соотношениями:

При этом вместо уравнений (1-29) и (1-30) следует рассматривать уравнения:

Выбор уравнений или (1-33) для решения конкретных задач электродинамики является делом привычки.

Заметим еще, что при подстановке выражений (1-29) в уравнения Максвелла получаются волновые уравнения для векторных потенциалов (1-30). Если же выражения (1-29) подставить в уравнения то получатся волновые уравнения для скалярных потенциалов: — электрических токов и — магнитных токов:

При этом векторные и скалярные потенциалы оказываются связанными уравнениями:

Однако если в уравнения (1-34) подставить выражения (1-24) и (1-35), то опять получатся волновые уравнения для

векторных потенциалов (1-30). Это и естественно, поскольку уравнения (1-20а) не имеют самостоятельного значения, а вытекают из уравнений (1-19а).

Таким образом, нет необходимости решать уравнения (1-34) для скалярных потенциалов и пользоваться при этом сторонними зарядами, а достаточно решать волновые уравнения (1-30) для векторных потенциалов, исходя из распределения только сторонних токов. При необходимости скалярные потенциалы могут быть определены из уравнений (1-35).