9-3. МЕТОД ФИЗИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

Для нахождения поля в зоне тени в самом грубом приближении пользуются методом физической (волновой) оптики. Этот метод основан на принципе Гюйгенса — Френеля. Согласно принципу Гюйгенса — Френеля каждая точка на поверхности, возбуждаемой падающей волной, может рассматриваться как источник вторичной сферической волны, а полное вторичное поле является результатом интерференции волн, выходящих из всех точек поверхности.

Для скалярного волнового уравнения математическая формулировка принципа Гюйгенса — Френеля может быть получена применением второй формулы Грина к искомому полю и функции Грина

где — внешняя относительно рассматриваемой области нормаль к поверхности Поверхность интегрирования в формуле (9-11) должна быть замкнутой и внутри нее не должно быть источников и поверхностей, на которых поле терпит разрыв. Если необходимо найти поле в бесконечном или полубесконечном пространстве, то поверхность разбивают на две части, одна из которых охватывает все особенности поля (источники и разрывы), а вторая удаляется на бесконечность. Интеграл по поверхности в силу условия излучения на бесконечности (см. § 3-1) обращается в нуль. Поверхность же удобно совместить с поверхностью, на которой функция V или ее нормальная производная терпит разрыв, например с поверхностью идеально проводящего тела при решении задачи о возбуждении его.

Таким образом, формула (9-11) позволяет по заданным значениям функции и ее нормальной производной на

поверхности найти значение этой функции в любой точке объема, ограниченного поверхностью Если мы можем подставить в (9-11) точные значения V и на поверхности то формула (9-11) будет совершенно строгой. Однако эти точные значения могут быть найдены лишь путем строгого решения соответствующей граничной задачи, для которой формула (9-11), вообще говоря, является исходным интегральным уравнением.

Отметим, что формула (9-11) часто называется интегралом Кирхгофа, а сам метод физической оптики — приближением Кирхгофа. Это связано с работами Кирхгофа по строгой формулировке принципа Гюйгенса — Френеля.

Метод физической оптики основан на том, что в формулу (9-11) подставляют приближенные значения V и а именно: на освещенной части поверхности эти значения берут равными соответствующим значениям поля падающей волны, а на теневой части поверхности полагают

Последнее допущение применимо, хотя и противоречит тому известному факту, что V и могут быть одновременно равны нулю на конечном участке поверхности только в том случае, если во всем пространстве. В этой связи лучше использовать в формуле (9-11) функцию Грина удовлетворяющую на поверхности однородным граничным условиям или Тогда в формуле (9-11) одно из слагаемых пропадет и мы будем иметь вместо этой формулы одну из двух следующих:

В тех случаях, когда электродинамическую задачу не удается свести к скалярной, пользуются векторной формулировкой принципа Гюйгенса — Френеля, которая сводится к изложенной в § 3-4 теореме эквивалентности. При этом в формулы (3-15б) и (3-16б) или (3-23) вместо значений и на освещенной части поверхности подставляют в соответствии с методом физической оптики их приближенные значения

На теневой части поверхности принимают Если поверхность совпадает с поверхностью идеально

проводящего тела, то считают, что всюду на поверхности в силу граничного условия а величину поверхностного электрического тока берут такой же, как в случае возбуждения бесконечной идеально проводящей плоскости (см. § 4-1), т. е. полагают

Этот момент указывает на родство методов геометрической и физической оптики. Если краеугольным камнем метода геометрической оптики является предположение о независимости отражения соседних лучей, то в основу метода физической оптики положена гипотеза о независимости токов, возбуждаемых в разных точках поверхности. Однако метод физической оптики идет дальше в сторону уточнения решения по сравнению с геометрооптическим, так как поле в области тени оказывается отличным от нуля. Хотя токи на теневой части возбуждаемой поверхности по-прежнему считаются равными нулю, в области тени теперь образуется поле, создаваемое токами, наведенными на освещенной части поверхности, ибо из каждой точки ее выходит уже не однонаправленный луч, а сферическая волна.

Ясно, что поле в теневой зоне никак не зависит от характеристик неосвещенной части поверхности: ее формы, кривизны, протяженности и т. п. Этот факт приводит к существенным погрешностям и позволяет ожидать, что методом физической оптики можно получить хорошие результаты в тех случаях, когда токи на теневой части поверхности действительно малы, другими словами, когда происходит резкая отсечка тока при переходе через границу освещенной и теневой частей поверхности тела. Следовательно, метод физической оптики в первую очередь следует применять для таких тел, как полуплоскость, полоса, диск, тонкий экран с отверстием и пр.

Что касается требований к форме освещенной части поверхности, то в силу указанного выше предположения о том, что поле (ток) здесь берется равным полю на бесконечной идеально проводящей плоскости, сохраняются условия применимости Метода геометрической оптики. Таким образом, чем меньше кривизна и больше по сравнению с длиной волны протяженность освещенной части поверхности, тем точнее будут результаты, полученные методом физической оптики. Заметим, что истинным критерием точности этого метода может служить лишь строгое решение задачи или эксперимент.

Для демонстрации метода физической оптики вернемся к задаче о возбуждении цилиндра нитью синфазного магнитного тока (см. рис. 9-1). Ввиду того что эта двумерная задача может быть сформулирована для единственной составляющей напряженности магнитного поля, нет

необходимости пользоваться теоремой эквивалентности, а достаточно обратиться к скалярной формуле (9-11), полагая

(для упрощения мы не будем учитывать в точке наблюдения первичного поля нити).

Положим в этой формуле

а поверхность интегрирования совместим с поверхностью цилиндра. В качестве функции Грина возьмем двухмерную функцию Грина (2-146)

где расстояние от точки на поверхности цилиндра до точки наблюдения

Таким образом, отраженное от цилиндра поле равно:

Подставив и считая, что расстояние вдоль оси z равно единице длины, перепишем (9-12) в следующем виде:

где - угол, определяющий границу между теневой и освещенной частями поверхности цилиндра.

Так как

определяется формулой (9-1), то в развернутом виде (9-13) можно переписать так:

где

Если

[при этом для амплитуды поля членами можно пренебречь], а функции Ганкеля можно заменить их асимптотическим представлением (9-2). Тогда выражение (9-14) примет вид:

При 1 интеграл в (9-15) можно оценить методом перевала (см. § 4-2). Точка перевала находится из уравнения и соответствует значению При оценке интеграла с помощью формулы (4-22) следует иметь в виду, что и при эта величина стремится к нулю. Следовательно, при приближении к границе тени необходимо учитывать в формуле (4-22) члены более высокого порядка малости.

Итак, отраженное поле в дальней зоне цилиндра будет приближенно определяться выражением

Это выражение совпадает с выражением (9-10), полученным методом геометрической оптики. Следовательно, в освещенной области результаты этих двух методов совпадают. Преимущество метода физической оптики в данной задаче можно обнаружить при расчете поля в зоне тени. Этого, однако, нельзя проследить по упрощенной формуле (9-16),

справедливой в дальней зоне, где область тени представляется лишь малой окрестностью углов вблизи

Метод физической оптики с успехом может быть применен и к задаче о возбуждении цилиндра конечной длины, которая не имеет строгого решения. Для этого следует найти строгим путем (см. гл. 5) электрический ток на поверхности цилиндра бесконечной длины и считать, что те же значения тока сохранятся по боковой поверхности конечного цилиндра. Если торцы цилиндра окажутся освещенными, то ток на них: принимается равным удвоенному первичному магнитному полю. Далее с помощью интеграла Кирхгофа мы найдем отраженное поле в любой точке пространства. Интегрирование при этом ведется по всей боковой поверхности цилиндра: и торцам, если они освещены источником. Найденный результат будет тем точнее, чем больше длина и радиус цилиндра по сравнению с длиной волны.