7-1. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВОЗБУЖДЕНИИ ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕГО КЛИНА

Рассмотрим бесконечный идеально проводящий клин с внешним углом раствора а (рис. 7-1). Во внешней области клина зададим сторонние электрические и магнитные токи, распределенные по произвольному закону.

Рис. 7-1. Идеально проводящий клин

Граничные условия на гранях клина наиболее просто записываются в цилиндрической системе координат, поэтому введем такую систему, совместив ось z с ребром клина. Решим векторные волновые уравнения (1-30), потребовав, чтобы на поверхности клина удовлетворялись граничные условия:

Согласно формулам (1-29) и (1-91) продольная и радиальная компоненты напряженности электрического поля связаны с составляющими потенциалов следующим образом:

С учетом (7-2) граничные условия (7-1) могут быть представлены через составляющие векторного электрического и магнитного потенциалов:

Векторное волновое уравнение в цилиндрической системе координат распадается на три скалярных уравнения, записываемых с помощью формулы (1-92) в виде:

Обратимся сначала к первому из уравнений (7-4). Его решение, удовлетворяющее граничным условиям (7-3), представим в виде:

для электрических токов;

для магнитных токов.

Таким образом, мы разложили решение по собственным функциям поперечного сечения клиновидной области, показанной на рис. 7-1. Если положить где то граничные условия при а будут удовлетворяться выражениями (7-5) и (7-6). Коэффициенты же мы должны выбрать так, чтобы выражения (7-5) и (7-6) удовлетворяли первому из уравнений (7-4), или, иначе говоря, мы должны связать значения продольных составляющих векторных потенциалов с распределением продольных составляющих электрического и

магнитного сторонних токов. С этой целью подставим (7-5) в (7-4) и, имея в виду дифференциальное уравнения Бесселя

получим:

Теперь умножим левую и правую части выражения (7-7) на

где

и проинтегрируем в следующих пределах: по от 0 до по от 0 до а и по z от до . В результате получим:

Далее, имея в виду, что

запишем предыдущее равенство в следующей форме:

откуда найдем

Подставив (7-6) в (7-4), аналогичным путем получим:

где число Неймана при при

Чтобы решить два оставшихся уравнения (7-4), будем рассматривать их как систему уравнений, а решения их, удовлетворяющие граничным условиям (7-4), представим в виде:

Здесь, так же как и раньше, Подставим выражения (7-10) в (7-4):

Умножим первое из этих выражений на а второе на и проинтегрируем оба выражения по от 0 до а. Тогда с учетом ортогональности тригонометрических функций получим:

Складывая и вычитая (7-12) и (7-13), найдем:

Умножим (7-14) на

а (7-15) на

и проинтегрируем оба выражения по от 0 до и по z от до [при этом в левых частях образуются функции ]. В результате получим:

Таким же путем можно определить коэффициенты и в выражениях (7-11). Эти коэффициенты оказываются равными:

Для получения окончательных выражений для составляющих электрического и магнитного векторных потенциалов подставим выражения для коэффициентов а и в формулы

(7-5), (7-6), (7-10) и (7-11). При этом мы выполним интегрирование по на плоскости комплексного переменного и преобразуем интеграл по х, подобно тому как мы это делали в формуле (2-18) с помощью соотношений (2-19). Вместо интеграла по с таким же успехом можмо было бы вычислить интеграл по х. Тогда функция была бы представлена разложением, подобным разложению функции Грина (2-22). Этот путь был выбран в работе

Итак, решение поставленной задачи будет иметь следующий вид:

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

Знак перед радикалом в показателе берется при а знак при Найденное решение представлено в виде бесконечного спектра плоскоцилиндрических волн, разбегающихся в обе стороны от плоскости вдоль оси z. Оно удовлетворяет граничным условиям на поверхности клина и принципу излучения на бесконечности.

При определении поля в дальней зоне выражения (7-20) — (7-25) можио упростить, вычислив интеграл по к. методом перевала (см. § 4-2). Считая, что все сторонние источники расположены в ограниченной области вблизи начала координат и введя сферические координаты :

найдем при

Подставив (7-26) в формулы (7-20) -(7-25), получим выражения для составляющих векторных потенциалов в дальней зоне:

(см. скан)

Значения напряженностей электрического и магнитного поля могут быть найдены по формулам (1-29) и (1-91).