1-7. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ПРИ ВЕСЬМА ВЫСОКИХ ЧАСТОТАХ

При очень высоких частотах от уравнений Максвелла можно перейти к более простым уравнениям геометрической оптики. Запишем первые два уравнения Максвелла для неоднородной изотропной среды в точках, где нет источников:

Чтобы перейти к уравнениям геометрической оптики, следуя работам Я. И. Фельда и Л. С. Бененсона, будем искать решение уравнений (1-62) в следующем виде:

где - волновое число для вакуума; — скалярная функция координат, описывающая изменение фазы поля и называемая эйконалом (от греческого слова «эйкон» - изображение).

Используя известное из векторного анализа тождество

подставим (1-63) в (1-62);

Умножив первое равенство на

а второе на

и введя коэффициент преломления среды получим:

Теперь воспользуемся тем обстоятельством, что мы имеем дело с весьма высокими частотами, такими, что Это позволяет пренебречь первыми двумя членами в каждом из соотношений (1-64) и записать уравнения Максвелла для весьма высоких частот:

Найдем условие совместности этих уравнений. Для этого полученное из второго уравнения значение подставим в первое уравнение и учтем тот факт, что векторы взаимно перпендикулярны, как следует из (1-65):

Отсюда следует дифференциальное уравнение, называемое уравнением эйконала:

Уравнение эйконала является условием разрешимости системы (1-65).

Для среды без потерь, где а следовательно, и будут действительными функциями координат, можно (1-66) записать в форме:

где — единичный вектор, параллельный направлению Подставив (1-67) в (1-65) и сократив на получим:

Отсюда следует, что векторы и образуют правую тройку.

Найдем выражение для вектора Пойнтинга в приближении геометрической оптики:

Видим, что энергия распространяется вдоль линий вектора называемых лучами.

Из (1-69) следует, что или Поскольку можно прийти к соотношению

которое говорит о том, что поле в приближении геометрической оптики в каждой точке пространства носит характер плоской волны (см. гл. 2).

Как видно из представления полей (1-63), значения определяют эквифазные поверхности. Для того чтобы

определить семейство эквифазных поверхностей, надо решения уравнения эйконала (1-66) найти функцию Линии вектора ортогональны к эквифазным поверхностям и определяют направления лучей. Построив эквифазные поверхности, можно затем построить картину лучей.

Направления лучей можно найти из дифференциальных уравнений лучей в однородной среде без выведены из уравнения эйконала.

Рис. 1-5. Трубка лучей в электромагнитном поле.

Выясним теперь, как можно определить изменение интенсивности поля вдоль лучей. Для этого заметим, что если трубка лучей в однородной среде без потерь вырезает в двух эквифазных поверхностях площадки (рис. 1-5), то из (1-69) следует:

Обозначим расстояние между через а радиусы кривизны площадки через Так как в однородной среде лучи (представляют собой прямые линии, то

и

Равенство (1-71) описывает изменение амплитуды электрического поля вдоль луча. Аналогичное равенство может быть записано и для магнитного поля.

Таким образом, из уравнений геометрической оптики (1-65) можно получить информацию о характере электромагнитного поля, форме линий потока энергии — лучей и изменении интенсивности поля вдоль лучей. Однако из этих уравнений нельзя извлечь никаких сведений относительно абсолютной величины и их ориентации в пространстве.

Рассмотрим вопрос о том, как из уравнения эйконала в форме (1-67) может быть выведен широко используемый в оптике принцип Ферма. С этой целью возьмем интеграл от

выражения (1-67) по некоторому пути между точками А и В (рис. 1-6):

Интеграл в левой части (1-72) равен:

т. e. он не зависит от формы пути интегрирования, а определяется только значениями эйконала в начальной и конечной точках (с точностью до

Рис. 1-6. К определению длины оптического пути.

Интеграл в правой части (1-72) можно записать в виде:

где — угол между лучом и касательной к пути интегрирования. Таким образом, (1-72) перепишется так:

Если путь интегрирования проходит вдоль луча то получим:

Интеграл называется оптической длиной пути вдоль луча. Равенство (1-74) выражает тот факт, что оптическая длина пути вдоль любого луча, начинающегося у одной эквифазной поверхности и оканчивающегося у другой, всегда одна и та же.

Оптическая длина пути вдоль произвольной кривой совпадает с длиной геометрического пути, проходимого за то же время со скоростью света с. Действительно,

где - скорость распространения электромагнитной волны в рассматриваемой среде;

время, необходимое для того, чтобы пройти со скоростью путь от А до В.

Сравнивая (1-73) и (1-74), получим для двух путей, соединяющих точки А и В:

Ввиду того что из предыдущего равенства следует:

Неравенство (1-75) выражает принцип Ферма, который гласит, что оптическая длина пути вдоль луча меньше, чем вдоль любой другой линии, соединяющей две данные точки.

Отметим, что с помощью принципа Ферма можно построить траектории всех лучей, не обращаясь к уравнению эйконала. Это делается с помощью вариационных методов.

Остановимся, наконец, на пределах справедливости уравнений геометрической оптики. Мы отбросили первые два члена в (1-64), считая, что они малы по сравнению с двумя оставшимися. Так можно поступить, если выполняются условия:

Из (1-67) и (1-69) следует, что Кроме того, где — длина волны в рассматриваемой среде. Тогда неравенства (1-76) можно переписать в следующей форме:

Поскольку в (1-77) входят дифференциальные операторы и смысл этих неравенств состоит в том, что относительные изменения величин длине, равной

длине волны в рассматриваемой среде, должны быть малы по сравнению с или

Таким образом, уравнения геометрической оптики справедливы до тех пор, пока относительное изменение параметров среды и амплитуд поля на расстоянии, равном длине волны в этой среде, можно считать малым по сравнению с величиной