8-1. ПРИМЕНЕНИЕ ИМПЕДАНСНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ В ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН

Структуры, направляющие поверхностные волны, во многих случаях могут быть охарактеризованы импедансными граничными условиями. Как уже говорилось в § 4-3, импедамсные граничные условия имеют вид:

где поверхностный импеданс, внешняя нормаль к границе области, в которой мы ищем поле.

В § 4-3 было также установлено, что граничные условия (8-1) при скалярном характере определяют структуру поля во второй среде в виде плоской волны, уходящей в направлении нормали

С другой стороны, соотношение (8-1) можно рассматривать как связь между тангенциальными составляющими Е и Н на некоторой поверхности (рис. 8-1). Такая связь может быть установлена в любом случае, и импеданс вообще говоря, будет тензорной величиной.

Если из — ортогональные координаты и единичные кеординатные векторы лежат в плоскости, касательной к 5, а вектор совпадает с нормалью но направлен в

противоположную сторону, то соотношение (8-1) можно записать в виде:

или

Рис. 8-1. Импедансная поверхность

Рис. 8-2. Плоская граница раздела двух сред.

Выражения вида (8-2) могут быть составлены для любого известного электромагнитного поля, причем поверхность может представлять собой как действительную границу раздела двух сред, так и некоторую воображаемую поверхность. В общем случае компоненты тензора будут зависеть от определяемого ими поля и соотношения (8-2) не смогут служить граничными условиями в обычном смысле, а окажутся следствием граничных условий (1-13б) и (1-14б), требующих непрерывности тангенциальных составляющих Е и Н.

Для того чтобы соотношения (8-2) действительно были граничными условиями, необходимо потребовать локальной независимости поля в среде 2 от поля в среде 1. Импеданс должен определяться только параметрами среды 2, а поле в среде 2 должно иметь вид плоской волны, движущейся в направлении нормали безотносительно к структуре поля в среде 1. Это значит, что нам необходимо вернуться к условиям (8-1).

Если Е и Н; взаимно ортогональны, то тензор становится диагональным, т. е. и выражения (8-26) примут вид:

Если граница раздела обладает анизотропными свойствами, то

В дальнейшем мы ограничимся двумерными задачами и будем считать, что поля в средах 1 и 2 не зависят от одной из поперечных координат, например координаты Если считать координату из прямолинейной, поле в среде 1 можно искать в виде суперпозиции электрических и магнитных волн, бегущих в направлении оси При этом согласно уравнениям Максвелла и выражениям (1-81) поле электрических волн будет иметь составляющие а поле магнитных волн — составляющие Таким образом, импедансные граничные условия для электрических волн будут иметь вид:

а для магнитных волн

Здесь, очевидно,

Теперь рассмотрим ряд плоских границ раздела, для которых импеданс среды 2 не зависит от поля в среде 1. При переходе к прямоугольной системе координат положим Граничные условия (8-4) перепишем следующим образом:

Прежде всего оценим поверхностный импеданс однородного полупространства (рис. 8-2). В § 4-3 мы установили, что поле на плоской границе раздела двух сред принимает вид плоской волны, уходящей вдоль нормали внутрь среды 2, в двух случаях: 1) когда ; 2) когда при Следовательно, в обоих случаях поверхностный импеданс перестает зависеть от поля и может быть подсчитан в первом случае по формуле

а во втором случае по формуле

Таким образом, мы можем констатировать, что на плоской границе среды с большими потерями поверхностный импеданс изотропен и представляет собой комплексную величину, причем действительная и мнимая части равны и малы по

модулю. В случае среды без потерь поверхностный импеданс на ее границе оказывается чисто действительной величиной. Однако если предположить, что или не одновременно то импеданс может стать чисто мнимым (реактивным). Это может, например, произойти, когда среда 2 представляет собой плазму (см. гл. 12).

Рис. 8-3. Идеально проводящая плоскость со слоем диэлектрика.

Рис. 8-4. Плоская ребристая структура.

Как мы увидим ниже, возникновение поверхностных волн связано именно с наличием мнимой части у поверхностного импеданса, поэтому здесь следует заранее обращать внимание на вид аргумента комплексной величины

Перейдем теперь к другой граничной поверхности — идеально проводящей плоскости, покрытой слоем диэлектрика (рис. 8-3). Если диэлектрик не имеет потерь, то преломленное поле в нем будет иметь вид плоской волны, движущейся в направлении отрицательных значений z, при условии

Однако, помимо этой волны, внутри диэлектрического слоя будет распространяться волна, отраженная от идеально проводящей плоскости. Если, кроме условия (8-8а), наложить условие на электрическую толщину слоя

то отклонение направления как падающей, так и отраженной волн от нормали будет незначительным. Тогда составляющие поля падающей и отраженной волн внутри диэлектрического слоя, очевидно, можно представить в следующем виде: для электрических волн

для магнитных волн

Суммарное поле как электрических, так и магнитных волн удовлетворяет граничному условию при На плоскости для суммарного поля электрических волн можно записать соотношение

Точно так же для суммарного поля магнитных волн запишем:

Сравнивая (8-9) с (8-5а) и (8-10) с (8-5б), получим выражения для поверхностного импеданса рассматриваемой структуры:

Таким образом, поверхностный импеданс слоя диэлектрика на плоском экране изотропен и чисто реактивен при отсутствии потерь в диэлектрике.

В качестве третьего вида плоской импедансной поверхности рассмотрим ребристую структуру, или «гребенку» (рис 8-4). Эта структура представляет собой систему металлических ребер толщиной укрепленных на идеально проводящей плоскости. Если расстояния между ребрами одинаковы, то структура будет периодической с периодом Между двумя соседними ребрами образуется прямоугольная канавка, имеющая глубину и ширину

Поле волны, бегущей вдоль оси у, на границе ребристой структуры и свободного пространства в силу периодичности может быть представлено в виде ряда Фурье, например:

где коэффициенты разложения содержат фазовые множители, меняющиеся от канавки к канавке.

В пределах периода электрическое поле складывается из поля на торце ребра, где и поля в пределах канавки. Каждую канавку мы можем рассматривать как волновод, образованный двумя параллельными идеально проводящими плоскостями (см. § 10-1). В общем случае в таком волноводе могут возбуждаться как электрические, так и магнитные волны. Однако если мы потребуем, чтобы ширина канавки была мала по сравнению с длиной волны, т. е.

то в канавке будет распространяться только волна ТЕМ. В нашем случае эта волна будет иметь составляющие . За счет отражения от дна канавки возникает стоячая волна, и поле в канавке будет описываться выражениями:

Следовательно, в пределах ширины канавки поле можно считать постоянным по амплитуде и фазе и при можно записать:

Это значит, что при выполнении условия (8-12) мы можем в ряде Фурье для поля на плоскости пренебречь всеми гармониками, кроме нулевой. Нам необходимо также учесть, что на торце ребра Предполагая, что ребра имеют малую толщину: усредним отношение (8-13) по периоду и запишем:

Таким образом, формула (8-14) определяет величину поверхностного импеданса электрических волн для плоской ребристой структуры. Для магнитных волн, поскольку при не только на торце ребра, но и в пределах ширины канавки, где магнитные волны не возбуждаются,

Следовательно, для магнитных волн ребристая структура представляет собой как бы идеально проводящий плоский экран. Итак, мы можем заключить, что поверхностный импеданс ребристой структуры анизотропен и носит чисто

реактивный характер при отсутствии потерь в среде, заполняющей канавки.

Укажем, что в тех случаях, когда условие (8-12) не выполняется, необходимо переходить к строгой теории ребристых структур [Л. 2].