6-7. ПОЛЕ КОЛЬЦЕВОЙ ЩЕЛИ НА ШАРЕ БОЛЬШОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РАДИУСА

Если электрическое поле в щели (рис. 6-7) не зависит от координаты , то возбуждаются только электрические волны. Записав выражение для объемной плотности стороннего магнитного

тока и подставив его в формулу (6-57), вычислим интеграл по объему источников. Заметим, что при интегрировании вследствие ортогональности тригонометрических функций в сумме по останется только один член с номером Если теперь воспользоваться соотношением между полем и потенциалом то по формулам (6-29) для напряженности магнитного поля нетрудно получить:

где

Напомним, что суммирование здесь производится по полной системе корней уравнения

Корни этого уравнения, в силу того что

асимптотически (для совпадают с корнями уравнения

Входящий в выражение для нормы множитель

равно как и корни уравнения (6-62), можно вычислить, воспользовавшись формулами, приведенными в § 5-4. Так как при абсолютная величина также велика [это видно из формулы (5-54)], то функции Лежандра, входящие в формулу (6-60), могут быть заменены их асимптотическими выражениями:

справедливыми при

Формулы § 5-4 совместно с асимптотическими выражениями (6-63) позволяют производить расчет поля непосредственно по формуле (6-60). Но прежде чем производить конкретные вычисления, важно выяснить характер сходимости полученного решения, который, как мы увидим ниже, в значительной степени определяется взаимным расположением точек источника и наблюдения. Исследование сходимости ряда (6-60) позволит сделать общие выводы относительно практического применения нашего представления решения при расчете электромагнитного поля в присутствии сферы большого электрического радиуса. Наглядное представление о характере сходимости решения можно получить, если при вычислении величин, входящих в формулу (6-60), воспользоваться тригонометрической аппроксимацией функций Ганкеля (см., например, (Л. 4]). Согласно этой аппроксимации сферические функции Ганкеля имеют вид:

Здесь

Расчет по формуле (6-64) дает удовлетворительные результаты, если и отношение не очень близко к единице. Дифференцируя выражение (6-64) и приближенно полагая при этом, что медленно меняющийся множитель а является постоянным, получим:

Отсюда следует, что при больших значениях корни уравнения (6-61) определяются из простого уравнения значит, или

В правой части выражения выбран отрицательный знак, для того чтобы корень этого уравнения находился в первом квадранте комплексной плоскости. Итак, задача о нахождении корней уравнения (6-61) свелась к решению трансцендентного уравнения (6-66). Приближенное аналитическое решение этого уравнения просто получить только при небольших значениях грубо говоря при . В этом случае, ввиду того что корень а должен быть малым по абсолютной величине. Поэтому, разлагая левую часть уравнения (6-66) по степеням а и удерживая только первый член разложения получим простое уравнение Выбирая нужный корень третьей ступени, находим:

Переходя с помощью формулы к переменной получаем выражение для корней уравнения (6-61):

Для вычисления множителя продифференцируем

выражение (6-65). Замечая при этом, что находим:

Если теперь в исходную формулу (6-60) подставим значение то с учетом асимптотических формул (6-63), (6-68) и (6-69) получим приближенное выражение для напряженности магнитного поля:

Таким образом, мы представили решение нашей задачи в виде разложения по полной системе собственных функций и получили асимптотические выражения для коэффициентов разложения, которые вследствие наличия у корней отрицательной мнимой части экспоненциально убывают с ростом номера за исключением точки где они убывают по закону Для окончательного вывода относительно сходимости решения нам осталось исследовать поведение сферических функций Ганкеля в зависимости от значений Чтобы не усложнять задачи, ограничимся рассмотрением двух важных для практики, случаев: .

В первом случае для сферической функции Ганкеля справедлива асимптотическая формула (6-64). Подставив ее в ряд (6-70), учитывая при этом, что а вычисляется по формуле (6-67) и что получим выражение для напряженности магнитного поля на поверхности шара:

Для выяснения сходимости решения достаточно исследовать сходимость следующего ряда:

При ряд (6-72) расходится, так как его члены положительны и убывают по закону Расходимость обусловлена особенностью поля на бесконечно узкой щели. При показатель экспоненты имеет отрицательную действительную часть, которая растет с ростом номера , следовательно, ряд сходится. Очевидно, чем больше разность т. е. чем дальше находится точка от возбуждающего источника, тем лучше в ней сходится ряд.

Чтобы при заданной точности расчета определить необходимое число членов разложения, представим ряд (6-72) в виде суммы первых М членов и остатка:

для которого нетрудно провести интегральную оценку сходимости. Проведя эту оценку, покажем, что всегда выполняется неравенство

где — интеграл вероятности:

Действительно,

Следовательно, если задаться точностью расчета у, то число требуемых членов разложения всегда меньше числа М, которое определяется из уравнения

Отсюда при , полагая аргумент интеграла вероятности равным 2, при котором находим, что

и, таким образом, при расчете поля на поверхности шара большого радиуса требуется не более трех членов разложения. При сходимость ухудшается и при требуется порядка членов разложения.

При рассмотрении поля в зоне излучения сферическую функцию Ганкеля заменяем ее асимптотическим выражением

справедливый при Подставив его в формулу (6-70), получим выражение для поля в дальней зоне:

где через А обозначены все множители, не зависящие от 0 и

Сходимость ряда (6-74) определяется в основном показателем экспоненты

который в зависимости от 0 может иметь положительную или отрицательную действительную часть. Значение при котором показатель обращается в нуль, определяет границу между освещенной и теневой областями. При

члены ряда экспоненциально затухают с ростом и он быстро сходится. Ориентировочное число членов разложения М определяется по формуле

где у — точность расчета, причем

На границе тени и света ряд сходится очень медленно, а в освещенной области он вообще расходится, так как его члены экспоненциально возрастают. Расходимость обусловлена тем, что при больших значениях мы не можем уже пользоваться асимптотической формулой (6-73).

Остановимся на физическом смысле формулы (6-74). Рассмотрим поле в точке наблюдения Каждый член бесконечного ряда (6-74) можно интерпретировать как сумму четырех волн, возбуждаемых вдоль лучей:

и распространяющихся (с затуханием) по меридианам в направлении от геометрической границы тени; две из этих волн приходят в данную точку теневой области кратчайшим путем от возбуждаемых лучей, а две другие — по тому же меридиану, но с противоположной стороны, причем амплитуды этих волн сравнимы только в окрестности темного полюса и при приближении к границе тени можно пренебречь теми волнами, которые прошли более длинный геометрический путь. Стоящий перед суммой множитель указывает на общее увеличение амплитуды поля вблизи направлений или которое вызывается фокусировкой волн, распространяющихся по меридианам от границы тени.

Рис. 6-16. Диаграммы направленности кольцевой щели при

На рис. 6-16 приведены графики диаграмм направленности магнитного кольца тока, расположенного на полюсе сферы заимствованные из работы

Колебательный характер поля в окрестности темного полюса объясняется интерференцией двух волн, имеющих

равные амплитуды при Увеличение числа осцилляций с ростом происходит потому, что, как видно из формулы (6-74), волны распространяются приблизительно со скоростью света и на меридианах при увеличении укладывается больше стоячих волн.

Итак, мы исследовали сходимость нашего решения в двух граничных случаях Можно показать, что при всех значениях наше представление решения годится для практических расчетов поля в тех точках пространства, из которых не виден возбуждающий источник, т. е. в области геометрической тени. Кстати, заметим, что при возбуждении шара щелью любая точка на его поверхности находится в тени и поэтому при решение быстро сходится при любых за исключением некоторой области в окрестности точки угловые размеры которой порядка В тех случаях, когда наше представление решения непригодно для непосредственного расчета поля, в освещенной области в первом приближении работает метод зеркальных изображений, так что наиболее трудно определить поле в промежуточной области. Здесь удобно, следуя Ватсону, от бесконечной суммы по перейти к контурному интегралу в комплексной плоскости и применить к вычислению этого интеграла асимптотические методы, развитые В. А. Фоком [Л. 3].

Литература к гл. 6

(см. скан)