3-2. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ

Рассмотрим область пространства V, ограниченную замкнутой поверхностью Предположим, что V содержит изотропную среду с параметрами ом, являющимися произвольными функциями координат. Пусть в этой области заданы сторонние электрические и магнитные токи, и на ограничивающей поверхности — граничные условия, причем на части поверхности задана тангенциальная составляющая напряженности электрического поля а на оставшейся части поверхности — тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля (рис. 3-1).

Рис. 3-1. К теореме единственности для внутренней области.

Покажем, что решение уравнений Максвелла:

будет единственным, если оно удовлетворяет указанным граничным условиям.

Доказательство теоремы единственности проведем, предполагая, что существует два решения поставленной задачи:

Образуем разность этих решений:

Очевидно, что разностное поле удовлетворяет однородным уравнениям:

при нулевых граничных условиях на поверхности

Применим к этому решению теорему Умова — Пойнтинга в комплексной форме [см. (1-22)]:

Левая часть этого уравнения равна нулю, поскольку для разностного поля сторонние токи отсутствуют. Далее, в последнем слагаемом правой части

т. е. последнее слагаемое в этом уравнении также равно нулю. Это означает, что для разностного поля через поверхность внутрь объема V энергия не поступает; вместе с тем внутри этого объема энергия не генерируется. Следовательно, потери энергии внутри рассматриваемой области должны быть равны нулю. Поэтому

Но тогда из теоремы Умова—Пойнтинга вытекает, что

Здесь надо различать два случая. Пусть проводимость среды не равна нулю, т. е. (либо ). В этом случае из (3-7а) следует, что так как то повсюду в области V разностное поле Но тогда из (3-76) также получим, что повсюду в области V. Поэтому в этом случае решения уравнений Максвелла будут идентичными. И, следовательно, заданием граничных условий на поверхности единственность решений уравнений Максвелла обеспечивается.

Рис. 3-2. К теореме единственности для внешней области.

Во втором случае, когда выражения (3-7а) удовлетворяются тождественно. Но теперь из уравнения (3-76) видно, что разностное поле может отличаться от нуля и что полная средняя энергия электрического поля равна полной средней энергии магнитного поля. Это значит, что энергия разностного поля в ограниченном объеме находится в колебательном состоянии. Как будет видно из дальнейшего, свободные колебания внутри объемных резонаторов без потерь наблюдаются на определенных (собственных) частотах.

Таким образом, при отсутствии потерь в среде единственность решений в замкнутых областях имеет место только на частотах, отличных от резонансных.

Теорема единственности остается верной и для внешней области. Пусть рассматриваемая область V ограничена изнутри поверхностью с заданными выше граничными условиями, а снаружи сферической поверхностью 2. Применим к разностному полю опять теорему Умова — Пойнтинга (1-22), последнее слагаемое в правой части которой будет состоять теперь из интеграла по поверхности и интеграла по поверхности 2 (рис. 3-2). Полагая радиус поверхности 2 стремящимся к бесконечности, а сторонние токи находящимися на конечном расстоянии от поверхности найдем, что составляющие электрического и магнитного поля на поверхности 2 вследствие потерь энергии в среде уменьшаются

быстрее, чем Следовательно, для разностного поля на поверхности 2 справедлива оценка:

где М — конечная положительная величина; а — положительное число.

Тогда

При этом принято во внимание, что разностное поле удовлетворяет принципу излучения на бесконечности, так как для приходящих из бесконечности волн в среде с потерями поле на поверхности с увеличением расстояния уменьшается медленнее, чем и интегралом по поверхности пренебречь нельзя.

Таким образом, доказательство теоремы единственности, приведенное для внутренней области, остается верным и для внешней области с потерями, ограниченной изнутри поверхностью с заданными граничными условиями.

Однако теорема единственности для внешней области остается верной и для среды без потерь. Действительно, хотя в приведенной выше оценке надо положить теперь , следовательно, получится конечное значение интеграла по поверхности от вектора Пойнтинга, этот интеграл для расходящихся волн представляет собой энергию, вытекающую из объема У через поверхность . Поскольку внутри объема V источники для разностного поля отсутствуют, этот интеграл должен быть равен нулю и, следовательно, на поверхности должно быть или а отсюда и выражение (3-76) должно быть тождественным нулю, т. е. разностное поле оказывается равным нулю всюду.