3-4. ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

Требуется определить электромагнитное поле в области V, ограниченной замкнутой поверхностью (рис. 3-3). Пусть распределение сторонних электрических и магнитных токов в области V задано и пусть также известны тангенциальные составляющие напряженности искомого электрического и магнитного поля на поверхности Эти условия оказываются достаточными по теореме единственности для однозначного определения поля в области V.

Рис. 3-3. К определению теоремы эквивалентности.

Для нахождения искомого поля воспользуемся леммой Лоренца (3-13), в которой положим искомым полем и в соответствии с этим заданным распределением возбуждающих токов. А под будем понимать поле вспомогательного точечного электрического или магнитного источника, расположенного в точке наблюдения искомого поля

Примем в качестве вспомогательного источника электрический диполь с единичным моментом тока совпадающий по направлению с единичным вектором а. Таким образом, положим в области V:

где — трехмерная дельта-функция.

Подставив (3-14а) в (3-13), найдем:

где через обозначено вспомогательное поле электрического диполя.

Если в точке расположить магнитный диполь с единичным моментом тока совпадающий по направлению с единичным вектором а, то вместо (3-14а) нужно будет записать:

и тогда из леммы (3-13) получится выражение

где через обозначено вспомогательное ноле магнитного диполя.

Преобразуем несколько выражения (3-15а) и (3-16а). Введем обозначения:

Тогда (3-15а) и (3-16а) представятся в виде:

Таким образом, для определения поля в области V надо знать распределение возбуждающих токов в этой области

и распределение тангенциальных составляющих напряженности электрического и магнитного (искомого) поля на ограничивающей (поверхности Тангенциальные составляющие поля согласно выражениям (3-17) могут рассматриваться как поверхностные плотности электрических и магнитных токов, распределенные на поверхности

В том случае, когда в области V объемное распределение возбуждающих токов отсутствует первые слагаемые в правой части выражений (3-15) и (3-16) выпадают и поле в области V определяется только поверхностными интегралами, т. е. поверхностными электрическими и магнитными токами. Но поскольку поверхность нами выбрана произвольной, очевидно, что фактически поле в области V определяется объемными сторонними электрическими и магнитными токами, распределенными вне области V. В этом смысле поверхностные электрические и магнитные токи, определяемые формулами (3-17), при определении поля в области V являются эквивалентными объемному распределению истинных возбуждающих токов вне области V.

Теорема эквивалентности впервые была установлена Лавом и далее рассматривалась Щелкуновым, Котлером и др. Она гласит: «поле в свободной от источников области V, ограниченной поверхностью может быть создано электрическими и магнитными токами, распределенными по этой поверхности, и в этом смысле действительные источники поля можно заменить «эквивалентными» поверхностными токами».

Обратим теперь внимание на то, что по теореме единственности необходимо знать на поверхности или только тангенциальную составляющую напряженности электрического поля, или только тангенциальную составляющую напряженности магнитного поля. Знание обеих величин не является необходимым. И действительно, при выборе вспомогательного поля допускается некоторый произвол в смысле наложения на него граничных условий. Мы можем потребовать, чтобы поле вспомогательных источников удовлетворяло принципу излучения на бесконечности. Тогда тангенциальные составляющие поля на поверхности будут конечными и нам достаточно знать на поверхности распределение эквивалентных электрических и магнитных токов для однозначного определения поля внутри поверхности. Но мы можем также наложить на вспомогательное поле некоторое граничное условие на рассматриваемой поверхности Если, скажем, потребовать, чтобы тангенциальная составляющая напряженности вспомогательного электрического поля на поверхности удовлетворяла нулевым граничным условиям, то первое слагаемое в поверхностном интеграле формулы (3-15) и второе слагаемое в поверхностном

интеграле формулы (3-16) выпадут и для однозначного определения поля необходимо знать только поверхностный магнитный ток (тангенциальную составляющую напряженности электрического поля). И, наоборот, если наложить нулевое граничное условие на поверхности на тангенциальную составляющую напряженности магнитного поля то для однозначного определения поля необходимо знать на поверхности только поверхностный электрический ток, т. е. тангенциальную составляющую напряженности искомого магнитного поля. Наложение того или иного граничного условия зависит от постановки конкретной электродинамической задачи.

Отыскание вспомогательного электромагнитного поля является задачей не простой, особенно в том случае, когда среда, заполняющая объем V, является неоднородной. Однако для однородной среды и при наложении на вспомогательное поле условия излучения на бесконечности выражения для вспомогательного поля значительно упрощаются, так как это есть поле диполя в однородной неограниченной среде. Для электрического диполя с единичным моментом тока согласно выражениям (1-29) имеем:

где - функция Грина, определяемая формулой (3-1).

Подставив (3-18) в (3-15б), получим:

Аналогично, если поле вспомогательного магнитного диполя с единичным моментом тока представить в виде:

то при подстановке этих выражений в (3-166) мы получим:

В выражениях (3-19) и (3-21) индекс указывает на то, что операция дифференцирования производится по точкам источников поля в то время как векторы Е и Н определяются в точках наблюдения поля Надо также помнить, что единичный вектор а задан в точке а объемные и поверхностные токи — в точках

Замечая, что

где индекс указывает на дифференцирование по точкам наблюдения поля, запишем выражения (3-19) и (3-21) в виде:

Формулы (3-22) и (3-23) являются удобными для определения поля по заданному распределению источников. В этих формулах функция Грина для неограниченного пространства входит в явном виде. Однако трудности здесь, так же как и в формулах (3-15) и (3-16), заключаются в том, что редко удается удачно задаться распределением эквивалентных поверхностных токов на поверхности

Пусть теперь область V ограничена изнутри поверхностью а снаружи поверхностью 2 (рис. 3-4). Формулы

Рис. 3-4. Определение ноля вне поверхности

(3-15) и (3-16) остаются справедливыми, но к интегрированию по поверхности прибавляется в этих формулах интегрирование по поверхности . Предположим, что поверхность является сферической с бесконечно большим радиусом, а сторонние токи и вспомогательные источники находятся на конечном расстоянии от начала координат. Тогда искомое и вспомогательное поля на поверхности окажутся поперечными и определятся выражениями:

Таким образом, в (3-15) и (3-16) интеграл по поверхности

2 оказывается равным нулю, так как

Следовательно, формулы (3-15) и (3-16), а также (3-22) и (3-23) остаются верными и для внешних задач, т. е. для областей, ограниченных изнутри.