8-2. ВОЗБУЖДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ИМПЕДАНСНОЙ ПОВЕРХНОСТИ

В этом параграфе мы решим задачу о возбуждении импедансной плоскости произвольным двухмерным распределением сторонних источников. Под импедансной плоскостью можно понимать как любую из трех рассмотренных выше структур, так и всякую другую плоскость, для которой справедливы граничные условия (8-3).

Совместим импеданеную плоскость с плоскостью и будем считать, что распределение источников и значения импеданса не зависят от координаты х. Тогда поле в верхнем полупространстве можно представить в виде суперпозиции электрических и магнитных волн, бегущих вдоль оси z. При этом за счет двухмерного характера поля эти же волны можно рассматривать как электрические и магнитные волны, бегущие вдоль оси у.

Остановимся сначала на решении для электрических волк. Поле сторонних источников (падающее поле) представим с помощью формул (2-30), (2-31), (2-32), (2-36) и (2-38), где учтем отсутствие зависимости от х, в следующем виде:

Здесь через обозначена площадь сечения области, занимаемой источниками, плоскостью верхние знаки перед радикалом берутся для а нижние — для

комплексная диэлектрическая проницаемость среды над импедансной плоскостью.

Остальные составляющие поля электрических волн выразятся так:

Поле, отраженное от импедансной плоскости, запишем в виде:

Суммарное поле электрических волн должно при удовлетворять граничным условиям (8-5а). Следовательно, мы можем записать:

Здесь у функции берутся перед радикалом только верхние знаки [см. формулу (8-17)].

Предположим, что поверхностный импеданс является функцией координаты у, причем такой функцией, которая допускает представление ее в виде интеграла Фурье, т. е.

Тогда соотношение (8-20) с помощью теоремы о свертке и формулы обращения для преобразования Фурье можно привести к виду:

Обозначив для удобства:

преобразуем (8-22) к следующей форме:

Соотношение (8-24) является неоднородным интегральным уравнением Фредгольма второго рода [Л. 3] относительно функции простым образом связанной со спектральной плотностью отраженного поля. Функция полностью определяется распределением сторонних источников и играет роль свободного члена в интегральном уравнении.

Функция называется ядром интегрального уравнения. Это ядро несимметрично по отношению к переменным к и и имеет слабую особенность в точках .

Для упрощения записи предположим, что перейдем к безразмерным величинам:

После этого уравнение (8-24) примет вид:

Если на всей импедансной плоскости поверхностный импеданс постоянен, то

В этом случае ядро становится диагональным и вместо интегрального уравнения мы получаем для функции простое функциональное уравнение вида:

из которого находим:

Возвращаясь с помощью выражений (8-23) к функции мы можем теперь с помощью формул (8-19) найти отраженное поле электрических волн в виде интегралов Фурье:

Таким образом, мы получили решение для электрических волн, возбуждаемых над плоскостью с постоянным импедансом произвольным двухмерным распределением источников. Это единственный закон распределения импеданса на плоскости, для которого удается получить решение уравнения (8-25) в замкнутой форме. Можно было бы найти решение для случая постоянного импеданса и не переходя к интегральному уравнению. Для этого достаточно применить к

выражению (8-20) обратное преобразование Фурье и найти функцию

Здесь уместно указать, что если на некоторой кривой поверхности в системе ортогональных координат и , допускающих разделение переменных в волновом уравнении, импеданс меняется по закону где с — константа; — коэффициент Ляме, то решение также может быть получено методом Фурье. В этом случае переменные целиком разделяются, а в интегральном уравнении образуется диагональное ядро. Доказательство этого факта приведено в обзорной работе [Л. 4]. В частности, можно установить, что для импедансного цилиндра и импедансного шара такое решение возможно при постоянном импедансе, а для импедансного клина — при импедансе, меняющемся обратно пропорционально расстоянию от вершины.

Интегралы но в выражениях (8-28), (8-29) и (8-30) можно вычислить на плоскости комплексной переменной. С этой целью замкнем путь интегрирования по действительной оси полуокружностью бесконечно большого радиуса в нижней полуплоскости при или в верхней полуплоскости при При этом необходимо учесть, что подынтегральные функции имеют точки ветвления и с помощью разрезов выделить однозначные ветви этих функций, обеспечивающие условие излучения на бесконечности. Процедура проведения разрезов уже обсуждалась нами в § 4-4. Здесь также должно выполняться требование, чтобы разрезы не пересекали оси действительных значений

В соответствии с теоремой Коши каждый из интегралов в формулах (8-28), (8-29), (8-30) будет равен интегралу по берегам разреза и сумме вычетов в полюсах подынтегральных функций. Во всех трех формулах знаменатели подынтегральных выражений обращаются в нуль, когда

и точка полюса определяется выражением

Из условия (8-31) мы легко можем установить характер реактивности импеданса Действительно, раз мы выбрали тот лист римановой поверхности, на котором [чем обеспечили сходимость интегралов в (8-28), (8-29) и (8-30) при то, значит, Отсюда следует, что

Следовательно, импеданс должен иметь положительную мнимую часть, или, иначе говоря, носить индуктивный характер: Рассмотрение импеданса с емкостным характером реактивности приводит к появлению полюса на втором листе римановой поверхности, где не выполняется условие излучения.

Выражение (8-32) мы теперь можем переписать в виде:

Если исключить приток энергии из нижней среды, т. е. считать, что то можно убедиться, что значение со знаком перед радикалом дает полюс в верхней полуплоскости а значение к со знаком — полюс в нижней полуплоскости

Таким образом, поле, обусловленное вычетами, будет представляться следующими выражениями:

Особый интерес представляет случай чисто реактивного импеданса. В соответствии с условием (8-33) такой импеданс должен быть индуктивным: Определяемое полюсами поле над такой индуктивной плоскостью будет равно:

В формулах (8-35) и (8-34) верхние знаки берутся при а нижние — при

Выясним, какова структура поля, представленного выражениями (8-35). Можно видеть, что это поле имеет вид плоской поперечно магнитной волны, распространяющейся в обе стороны от источника вдоль оси у, т. е. вдоль импедансной плоскости. Волновое число в этом направлении равно Оно всегда больше, чем и лишь при равняется Следовательно, фазовая скорость рассматриваемой волны меньше или равна скорости света и мы вправе называть эту волну медленной. Что касается зависимости поля от координаты z, то легко установить, что в направлении оси z амплитуда поля спадает по экспоненте. Степень затухания пропорциональна величине поверхностного реактанса Амплитуда каждой составляющей поля зависит также от распределения сторонних источников и значения реактанса

Таким образом, мы приходим к заключению, что поле, определяемое формулами (8-35), есть поле плоской поверхностной волны. Такое поле мы уже рассматривали в § 2-4. Там, однако, подобное поле создавалось искусственно за счет подбора распределения стороннего тока на бесконечной плоскости. Теперь же возникновение поверхностной волны является в первую очередь следствием свойств границы раздела двух сред. Распределение сторонних токов может быть достаточно произвольным, лишь бы оно удовлетворяло выражению (8-17).

Возбуждение поверхностной волны можно трактовать как резонанс отраженного поля для некоторой пространственной гармоники. Действительно, если обратиться к формулам (8-19), представляющим отраженное поле в виде интегралов Фурье с действительной переменной интегрирования х, то функцию следует рассматривать в качестве коэффициента отражения одной из пространственных гармоник (быстрой или медленной) с волновым числом х. С помощью замены каждую пространственную гармонику можно представить как плоскую волну, падающую на плоскость под углом отсчитываемым от оси z. При этом медленным гармоникам будут соответствовать мнимые значения угла а быстрым гармоникам -действительные значения угла Согласно формуле (8-27)

Если то при получаем Медленная гармоника с волновым числом или

плоская волна, падающая под мнимым углом вызывает резонанс коэффициента отражения. Рассматриваемая система полностью реактивна, и происходящий эффект аналогичен резонансу в последовательном контуре. Заметим, что ни одна гармоника, у которой не может вызвать поверхностную волну. Следовательно, плоская электромагнитная волна, падающая под любым действительным углом не способна возбудить поверхностную волну на плоскости с постоянным поверхностным реактансом. Этот факт можно проследить, конечно, и с помощью выражений (8-35), задавая бесконечно удаленный сторонний источник.

Из формулы (8-35) можно увидеть также, что при коэффициент отражения не мсжет обратиться в бесконечность и что при этого тоже не может случиться. Если же то коэффициент отражения некоторой группы гармоник может достигать большой, хотя и конечной величины. Этот случай подобен резонансу в контуре с потерями.

На плоскости комплексного переменного случай чисто реактивного импеданса соответствует расположению полюсов на действительной оси. При введении потерь на импедансной плоскости полюсы смещаются вверх [для знаком в формуле (8-32)] или вниз [для знаком . С помощью выражений (8-34) можно легко убедиться в том, что при появлении действительной части у импеданса волна, описываемая этими выражениями, теряет свой поверхностный характер. Амплитуда поля начинает затухать вдоль оси у, и возникает поток энергии вдоль оси z. Поэтому мы можем утверждать, что настоящая поверхностная волна возможна лишь над плоскостью с чисто реактивным поверхностным импедансом. При этом, как мы уже убедились, для электрических волн этот импеданс должен быть индуктивным.

Чтобы оценить, какие реальные границы раздела способны поддерживать поверхностную волну вида (8-35), вернемся к результатам § 8-1. На основании этих результатов мы можем сказать, что такая поверхностная волна может распространяться над слоем диэлектрика на плоском экране и над ребристой структурой. Поверхностные импедансы этих сред определяются формулами (8-11) и (8-14). Что касается плоской границы раздела двух сред, то ясно, что она не может поддерживать поверхностную волну. Лишь при когда импеданс определяется формулой (8-6), вдоль

границы может распространяться затухающая волна, слабо локализованная вблизи плоскости Кроме того, поскольку модуль импеданса мал, а амплитуды составляющих поля в формулах (8-34) при пропорциональны именно модулю импеданса, эта волна будет составлять лишь незначительную часть полного поля над плоскостью Подобная волна эквивалентна волне Ценнека, рассматривавшейся нами в конце § 4-4.

До сих пор мы говорили лишь об одной части отраженного поля части, определяемой вычетами в полюсах Однако мы должны учесть еще поле, получающееся при интегрировании по берегам разрезов, выделяющих точки ветвления Возможны различные способы проведения разрезов и оценки возникающих при этом интегралов. В частности, весьма удобными оказываются разрезы, подобные показанным на рис. 4-12. В этом случае поле удается представить в виде ряда по обратным степеням

Часть отраженного поля, определяемая интегралами по берегам разрезов на плоскости называется полем пространственной волны. Физически поле пространственной волны связано с полем, непосредственно отразившимся от импедансной плоскости. Когда сложная электромагнитная волна, идущая от источника, падает на импедансную плоскость, часть мощности этой волны переходит в мощность поверхностной волны, а остальная идет на формирование сложной волны, удаляющейся от плоскости по всем направлениям и содержащей как быстрые, так и медленные пространственные гарменики.

Для наиболее простой оценки пространственной волны в дальней зоне мы воспользуемся методом перевала. С этой целью перейдем к полярным координатам отсчитывается от оси и сделаем замену переменных Затем, считая функцию определяемую выражением (8-27), медленно меняющейся, с помощью формулы (4-22) найдем составляющие в дальней зоне:

Можно также найти составляющую с помощью соотношения

При деформнровании первоначального контура интегрирования, имеющего вид контура 1 на рис. 4-5, в контур перевала мы можем пересечь точку полюса. Вычет в этом полюсе, очевидно, даст нам все то же поле поверхностной волны, описываемое выражениями (8-34). Поэтому формулы (8-37), не учитывающие вклада от вычета при возможном пересечении полюса это возможно лишь при , описывают поле пространственной волны в дальней зоне.

Заметим, что отношение мощности, переносимой поверхностной волной, к мощности, излучаемой пространственной волной, характеризует эффективность возбуждения поверхностной волны данной системой сторонних токов.

Обратимся теперь к возбуждению магнитных волн над импедансной плоскостью. С помощью формул (2-33), (2-34), (2-36) и (2-38), вычислив в них интеграл по с учетом независимости поля от х, запишем падающее поле в виде:

(см. скан)

Порядок выбора знака перед радикалом здесь точно такой же, как и в формулах (8-16) и (8-17).

Поле, отраженное от импедансной плоскости, запишем в виде:

Далее, используя граничное условие (8-55), выведем интегральное уравнение относительно функции

аналогичное уравнению (8-24):

где

В формуле (8-45) у функции определяемой выражением (8-40), перед радикалом берутся верхние знаки. Перейдя к безразмерным величинам найдем решение уравнения (8-44) для плоскости с постоянным поверхностным импедансом:

Отраженнное поле будет иметь вид

При вычислении интегралов на плоскости комплексной переменной найдем полюсы подынтегральных выражении, которые окажутся расположенными в точках

Виду того что мы должны выбрать лист римановой поверхности, на котором или, другими словами, аргумент импеданса обязан удовлетворять неравенству

Отсюда следует, что для существования полюса на данном листе римановой поверхности в случае магнитных волн поверхностный импеданс должен носить емкостный характер. В этом наиболее существенное отличие магнитных волн над импедансной плоскостью от электрических.

Если активная часть импеданса равна нулю, т. е. то поле, определяемое вычетами в полюсах (8-48), будет описываться выражениями:

Здесь верхние знаки берутся при а нижние — при .

Легко видеть, что формулы (8-50) описывают поле плоской поперечноэлектрической поверхностной волны, распространяющейся в обе стороны от источника вдоль оси у. Такая волна может существовать над плоским экраном, покрытым слоем диэлектрика. Ребристая структура, у которой поддерживать подобную волну не может.

Если импеданс имеет положительную активную и отрицательную реактивную части, то поверхностная поперечноэлектрическая волна затухает при своем движении вдоль импедансной плоскости, а в направлении оси Z возникнет поток мощности. Волна такого вида, в частности, возможна над границей сильно проводящей среды, поверхностный импеданс которой можно найти по формулам (8-6).

Оценка поля пространственной волны может быть проведена таким же путем, как и в случае электрических волн.