2-3. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Во многих случаях оказывается удобным представление решений уравнений Максвелла в виде наложения так называемых электрических и магнитных волн. Здесь мы получим

это представление в прямоугольной системе координат, при этом примем направление распространения электрических и магнитных волн совпадающим с осью z. Можно было бы, конечно, это направление принять совпадающим с осью х или у.

Выражение для продольной составляющей напряженности электрического поля согласно выражению (1-29) определяется формулой

Если теперь записать векторный потенциал согласно формулам (2-9) и (2-14) в виде

и подставить его в выражение для то получим

где

Аналогичным образом может быть представлено выражение для продольной составляющей напряженности магнитного поля

где

В выражениях (2-31), (2-32), (2-34) и (2-35) верхние знаки перед у берутся для а нижние для

Теперь оказывается, что поперечные составляющие электромагнитного поля выражаются для тех точек пространства, где нет возбуждающих токов, через продольные составляющие. Действительно, если представить поперечные составляющие поля в виде:

то после подстановки (2-30), (2-33) и (2-36) в однородные уравнения Максвелла получим:

Записав уравнения (2-37) в прямоугольной системе координат и замечая, что операция дифференцирования по z равносильна умножению на получим при

и при

Причем полное электромагнитное поле определяется суммой (2-38) и (2-39). Таким образом, зная распределение

сторонних токов мы можем вычислить по формулам (2-31) и (2-34) продольные составляющие напряженности электрического и магнитного поля, а затем уже через них по формулам (2-38) и (2-39) определить и поперечные составляющие.

Электромагнитные волны, определяемые тремя составляющими электрического поля и двумя поперечными составляющими магнитного поля обычно называются поперечными магнитными (ТМ) или электрическими (Е) волнами. А электромагнитные волны, определяемые тремя составляющими магнитного поля и двумя поперечными составляющими электрического поля называются поперечными электрическими (ТЕ) или магнитными (Н) волнами.

Следовательно, электромагнитное поле, возбуждаемое произвольными сторонними токами в свободном пространстве, можно представить в виде наложения электрических и магнитных волн. Отметим, что продольные составляющие стороннего тока возбуждают, как это видно из формул (2-32) и (2-35), или только электрические волны (при или только магнитные волны (при а поперечные составляющие сторонних электрических и магнитных токов возбуждают, вообще говоря, как электрические, так и магнитные волны.

Отметим далее, что и электрические, и магнитные волны представляют собой непрерывный спектр пространственных гармоник, иначе еще называемых собственными или нормальными волнами. Каждому значению или соответствует своя пространственная гармоника, распространяющаяся в направлении оси и модулированная по фазе в поперечной плоскости (плоскости ху).

При отсутствии потерь в среде, когда волновое число является действительной величиной, спектр пространственных гармоник, удовлетворяющий условию является затухающим, поскольку при этом условии постоянная распространения у является действительной. Спектр пространственных гармоник, удовлетворяющий условию является распространяющимся, поскольку постоянная распространения у при этом оказывается мнимой. В первом случае распространение энергии в направлении оси z отсутствует — имеет место колебательный процесс, затухающий в пространстве, а во втором случае происходит распространение энергии в этом направлении.

Далее мы рассмотрим некоторые применения полученных здесь формул.