3-3. ЛЕММА ЛОРЕНЦА
Выведем вспомогательное математическое соотношение, называемое леммой Лоренца, которое имеет важное значение в граничных задачах электродинамики.
Пусть в изотропной среде с параметрами 
являющимися произвольными функциями координат, задано
объемное распределение сторонних электрических и магнитных токов 
Поле 
возбуждаемое этими токами, удовлетворяет уравнениям:
Оставляя частоту колебаний 
неизменной, зададим в той же среде другое распределение сторонних токов 
Поле 
возбуждаемое этими токами, удовлетворяет уравнениям:
А теперь умножим скалярно первое уравнение (3-8) на 
а второе уравнение (3-9) на 
и вычтем из первого второе. Тогда, имея в виду векторное тождество
получим:
Далее умножим скалярно второе уравнение (3-8) на 
а первое уравнение (3-9) на Е] и вычтем из первого второе. Тогда
При сложении (3-10) и (3-11) первое и второе слагаемые в правой части взаимно уничтожаются и получается соотношение
Это выражение представляет собой лемму Лоренца в дифференциальной форме. Интегрируем выражение (3-12) по объему V, ограниченному поверхностью 
Пользуясь при
этом теоремой Гаусса — Остроградского, получим лемму Лоренца в интегральной форме:
Эта лемма используется во многих задачах, в частности при составлении интегральных уравнений, определяющих распределение электрических токов, наводимых на проводящих телах. Ниже с помощью леммы Лоренца выводятся теоремы эквивалентности и взаимности.
