Глава четвертая. ВОЗБУЖДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД

В настоящей главе демонстрируется применение рассмотренных ранее общих положений к решению одной из наиболее простых граничных задач возбуждения — задачи о возбуждении бесконечной плоскости. Решение этой задачи, кроме методического значения, имеет и большое прикладное значение, ибо часто реальные системы близки по форме к плоскости большой протяженности по сравнению с длиной волны.

В качестве сторонних источников рассмотрены нить тока и вертикальный диполь. Более сложные виды источников можно исследовать с помощью тех же методов. В задаче о возбуждении плоской границы раздела двух сред нитью тока акцент сделан на анализе поля в дальней зоне. Излагается суть метода перевала и показывается, как этот метод применяется в данной задаче. Обсуждаются все основные явления, происходящие при падении плоской волны на плоскую границу раздела двух сред. Особое внимание уделено приближенным граничным условиям Леонтовича.

Детальный анализ ближнего поля проводится в задаче Зоммерфельда о вертикальном диполе над плоскостью с конечной проводимостью. Наряду с результатами, ставшими уже классическими, дана современная точка зрения по ряду вопросов, связанных с решением этой задачи.

4-1. ВОЗБУЖДЕНИЕ ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА БЕСКОНЕЧНОЙ НИТЬЮ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО (МАГНИТНОГО) ТОКА. ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ

Пусть плоскость (рис. 4-1) будет плоскостью раздела двух полубесконечных сред. Среда 1, расположенная выше границы раздела, имеет параметры а среда 2,

лежащая ниже плоскости - параметры . В среде 1 через точку параллельно оси у проходит нить стороннего тока, электрического или магнитного. Будем считать, что ток вдоль всей нити имеет одни и те же амплитуду и фазу. Аналитически объемная плотность такого линейного стороннего тока задается в виде:

Рис. 4-1. Нить тока около плоскости раздела двух сред.

Чтобы решить поставленную задачу, представим полное поле в среде 1 в виде суммы падающего (первичного) и отраженного (вторичного) поля. Падающее поле есть поле заданного стороннего тока (4-1) в однородной среде (при отсутствии границы раздела). Векторный потенциал падающего поля можно определить по формуле (2-7а). Если использовать выражение для двумерной функции Грина (2-14а), то векторный потенциал в нашем случае следует записать так:

Здесь через обозначено волновое число первой среды, равное знак берется для а знак для

Функция (4-2), как было показано в § 2-1, является решением неоднородного скалярного волнового уравнения

Можно сказать, что векторный потенциал в форме (4-2) представлен в виде бесконечного непрерывного спектра неоднородных плоских волн, распространяющихся в обе стороны от источника вдоль оси при и затухающих экспоненциально в этом направлении при Выражение (4-2) можно трактовать и как бесконечный спектр быстрых (для и медленных (для волн, бегущих от источника в направлении оси х. Отметим, что амплитуды всех пространственных гармоник нам известны и равны

Поле, отраженное от границы раздела, можно рассматривать как поле эквивалентных поверхностных токов, наведенных на граничной плоскости Это поле соответствует интегралу по поверхности (в данном случае плоскости в формулах (3-156) и (3-166). В соответствии с этим векторный потенциал отраженного поля можно представить в виде:

В выражении (4-3) учтено, что точка наблюдения располагается выше точки истоков (эквивалентных токов), лежащей на плоскости Векторный потенциал представлен в виде бесконечного непрерывного спектра пространственных гармоник, распространяющихся или затухающих вверх от плоскости раздела. Безразмерные комплексные амплитуды этих гармоник нам неизвестны, поскольку неизвестно распределение эквивалентных поверхностных токов на плоскости Можно сказать, что отраженное поле по аналогии с падающим записано в виде интеграла Фурье, но спектральная плотность отраженного поля неизвестна. Нетрудно убедиться, что выражение (4-3) удовлетворяет однородному волновому уравнению, так как верхнее полупространство не содержит источников отраженного поля — эквивалентных поверхностных токов.

Поле в среде 2 мы будем называть преломленным. Поскольку в среде 2 нет сторонних источников, преломленное поле обязано своим появлением только эквивалентным поверхностным токам, наведенным на плоскости раздела Следовательно, векторный потенциал преломленного поля можно представить в такой же форме, как и векторный потенциал отраженного поля (4-3), но с другой неизвестной спектральной плотностью Необходимо учесть также, что в среде 2 волновое число равно еааг. Таким образом,

Выражение (4-4) удовлетворяет однородному волновому уравнению

Чтобы определить электромагнитное поле в средах 1 и 2, необходимо найти неизвестные функции через

граничные условия на плоскости Сделаем это раздельно для нитей магнитного и электрического стороннего тока.

Рассмотрим прежде нить магнитного тока Тогда и составляющие напряженности электрического и магнитного поля в соответствии с формулами (1-29) запишутся следующим образом:

Граничные условия для тангенциальных составляющих магнитного поля (1-136) на поверхности раздела сред 1 и 2 будут выглядеть так:

а граничные условия для тангенциальных составляющих электрического поля (1-146) шримут следующую форму:

Подставив (4-2), (4-3) и (4-4) в (4-5а) и (4-56) и учитывая, что в (4-2) перед радикалом надо взять знак ибо получим:

Приравняв спектральные плотности в (4-6а) и (4-66), т. е. выполнив обратное преобразование Фурье, получим два соотношения:

которые являются системой функциональных уравнений относительно Решив эту систему, найдем:

После подстановки (4-7) в (4-3) и (4-8) в (4-4) будем иметь:

Итак, формулы (4-2), (4-9) и (4-10) позволяют найти полное электромагнитное поле как в среде I, так и в среде 2. Найденное нами решение является единственным, так как оно удовлетворяет всем условиям теоремы единственности. Действительно, выражения (4-2), (4-9) и (4-10) удовлетворяют волновому уравнению (неоднородному или однородному),

полученному из уравнений Максвелла, удовлетворяют условию излучения на бесконечности за счет травильного выбора знака перед радикалом

в показателе экспоненты и удорлетворяют граничным условиям на плоскости, разделяющей среды.

Остановимся на важном частном случае рассматриваемой задачи, когда т. е. среда 2 является идеальным электрическим проводником. В этом случае и

Следовательно, электромагнитное поле в среду 2 не проникает, а в среде 1 отраженное поле описывается выражением, подобным выражению для падающего поля (4-2). Можно считать, что отраженное поле создается фиктивным источником в виде нити магнитного тока, расположенной под плоскостью на расстоянии от нее (рис. 4-2). Этот фиктивный источник имеет такую же величину и направление тока, как и истинный источник, и называется зеркальным изображением последнего. Таким образом, идеально проводящую плоскость можно заменить зеркальным изображением истинного источника; при этом поле в верхнем полупространстве не изменится. Подобный способ учета отражающего действия некоторых поверхностей называется методом зеркальных изображений. В наиболее простом виде он применяется в случае бесконечной идеально проводящей плоскости. Легко видеть, что при на поверхности раздела тангенциальная составляющая напряженности магнитного поля и нормальная составляющая напряженности электрического поля удваиваются:

Рис. 4-2. Зеркальное изображение источника в идеально проводящей плоскости.

а тангенциальная составляющая напряженности электрического поля обращается в нуль:

Если нить стороннего магнитного тока задана на поверхности плоского идеального проводника то суммарное поле во всех точках верхнего полупространства равно удвоенному падающему полю, а векторный потенциал суммарного поля определяется выражением

Тангенциальная составляющая напряженности электрического поля на поверхности идеального проводника, определяемая выражением

всюду равна нулю, за исключением точки где она обращается в бесконечность. Интеграл, взятый от обеих частей предыдущего выражения вдоль оси х (вдоль электрической силовой линии), дает напряжение между краями бесконечно узкой цели на поверхности проводника, образовавшейся после наложения нити магнитного тока

Действительно, если в плоском бесконечно тонком идеально проводящем экране прорезать бесконечно узкую щель и к краям щели приложить напряжение то структура электромагнитного поля над экраном и на поверхности экрана будет точно такой же, как и структура поля, создаваемого нитью магнитного тока, лежащей на экране. Следовательно, такая щель является физической моделью стороннего источника с магнитным током. Нетрудно видеть, что щель конечной ширины эквивалентна ленте магнитного тока, лежащей на поверхности идеального проводника и имеющей ту же ширину, что и щель. Таким образом, введение в уравнения Максвелла фиктивных магнитных токов оправдывается

возможностью использования их при рассмотрении реальных источников в виде щелей, прорезанных в металлической поверхности.

Рассмотрим теперь поле нити электрического тока возбуждающей плоскую границу раздела двух сред. Полагая запишем согласно формулам (1-29) составляющие поля:

Граничные условия для тангенциальных составляющих магнитного и электрического поля будут соответственно иметь

Подставив (4-2), (4-3) и (4-4) в (4-11) и выполнив обратное преобразование Фурье по получим систему двух функциональных уравнений относительно спектральных плотностей

решив которую, найдем:

Векторные потенциалы отраженного и преломленного поля равны:

Если среда 2 является идеально проводящей то — Тогда формулы (4-14) и (4-15) примут

Поле в среду 2 не проникает, а в среде 1 полное поле можно представить как сумму полей истинного источника и зеркального источника, лежащего под граничной плоскостью на расстоянии от нее. Амплитуды токов истинного и зеркального источников одинаковы, а фазы отличаются на я-Это обстоятельство приводит к тому, что при расположении нити электрического тока на поверхности идеального проводника поле всюду обращается в нуль.

Заметим, что если представить себе среду 2 как идеально проводящую магнитную поверхность: то зеркальное изображение нити электрического тока будет уже синфазным. Поле в верхнем полупространстве можно найти, зная поле нити магнитного тока над плоским идеальным

электрическим проводником, если в соответствии с принципом двойственности (см. § 3-6) произвести замены:

Здесь индексами отмечены составляющие поля, возбуждаемые нитями магнитного и электрического тока соответственно.