10-2. ВОЗБУЖДЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ВОЛНОВОДА

Прямоугольный волновод имеет важное практическое значение. Поэтому остановимся на нем более подробно. К решению задачи о возбуждении волновода мы можем опять-таки подойти с различных точек зрения. Например, можно найти выражения для векторных потенциалов электрических и магнитных токов, как это сделано в работе [Л. 1], или использовать тензорные функции Грина [Л. 2].

Рис. 10-2. Прямоугольный волновод.

Легко, однако, использовать путь решения, намеченный в § 10-1, т. е. непосредственно найти решения уравнений для продольных составляющих напряженности поля (10-1), а затем поперечные составляющие поля выразить через продольные. Отличие будет заключаться в том, что искомое поле надо разложить в ряды Фурье по собственным типам волн поперечного сечения прямоугольного волновода (рис. 10-2). Это разложение для электрических волн будет выглядеть так:

где а и — размеры поперечного сечения волновода.

Выражение (10-20) удовлетворяет нулевым граничным условиям на стенках волновода. Подставив (10-20) в (10-1), найдем:

где

Применив к последнему выражению обратное преобразование Фурье, получим дифференциальное уравнение относительно истокообразной функции

Решение уравнения (10-21), удовлетворяющее принципу излучения на бесконечности в направлении координаты z, имеет следующий вид:

Подставив (10-22) в (10-20), найдем:

Аналогичное решение имеет место и для магнитных волн. Однако в этом случае разложение в ряд Фурье производится по косинусам, поскольку нулевым граничным условиям

на стенках волновода должна удовлетворять нормальная производная продольной составляющей напряженности магнитного поля:

В выражениях (10-24), (10-25), (10-27) и (10-28) верхние знаки перед у берутся для а нижние — для Числа не могут одновременно равняться нулю, ибо в этом случае конечную величину будет иметь лишь составляющая [см. (10-31)].

Поперечные составляющие поля определяются двойными рядами:

в которых аналогично (10-16) и (10-17) даются следующими соотношениями:

для электрических волн

для магнитных волн

Знак перед у здесь выбирается по тому же правилу, что и в формулах (10-24) -(10-28).

Выражения (10-23) — (10-31) определяют возбуждение электромагнитного поля в прямоугольном волноводе при произвольном распределении сторонних электрических и магнитных токов, В общем случае возбуждается бесконечное количество типов электрических и магнитных волн.

Каждой паре значений соответствует определенный тип волны, характеризуемый постоянной распространения Затухающие типы волн определяются действительной величиной у, и это будет наблюдаться при — действительная величина). Распространяющиеся типы волн являются быстрыми и определяются мнимой величиной у. когда Критическая длина волны определяется из условия откуда

Фазовая скорость и длина волны в волноводе распространяющихся типов волн определяются выражениями:

где — фазовая скорость и длина волны ТЕМ в данной среде.

Распространяющиеся типы волн удаляются от возбуждающих источников на бесконечность в виде бегущих волн. В пределах объема, занимаемого источниками, образуется наложение движущихся навстречу друг другу бегущих волн. Амплитуды затухающих типов волн уменьшаются при удалении от источников по экспоненте и тем быстрее, чем выше тип волны. Следовательно, волновод является как бы фильтром типов волн: из бесконечного дискретного спектра волн, возбуждаемого источником, все типы волн, для которых свободно распространяются по волноводу, а типы волн, для которых быстро затухают при удалении от источника.

Остановимся теперь на некоторых частных случаях возбуждения прямоугольного волновода. Пусть волновод возбуждается электрическим диполем с моментом тока направленным вдоль оси х и расположенным в точке -Объемная плотность такого стороннего тока имеет вид:

Подставив это выражение в (10-10) и (10-14), найдем:

После подстановки и М в (10-25) и (10-28), получим:

Таким образом, для продольных составляющих напряженности электрического и магнитного поля получим выражения:

Поперечные составляющие поля определяются из подстановки (10-34) в (10-30) и (10-31). Наинизший тип волны соответствует значениям При этом электрические волны исчезают, а для магнитных волн имеем:

Остальные составляющие напряженности электрического и магнитного поля равны нулю. Структура поля волны показана на рис. 10-3. Таким образом, наинизшим типом волны в прямоугольном волноводе является магнитная волна Обычно поперечные размеры волновода выбираются настолько малыми, что только волна является распространяющейся, а остальные, высшие типы волн являются затухающими. Тогда при удалении от диполя на расстояние поле в волноводе с достаточной степенью точности определяется выражениями (10-35).

Отметим, что при неизменном моменте тока диполя поле в волноводе максимально при и равно нулю при Надо также отметить, что на критической длине волны, когда составляющие поля и становятся бесконечными, если только пренебречь потерями.

Рис. 10-3. Структура поля волны

Рассмотрим еще один пример, а именно возбуждение волновода элементарной поперечной щелью, расположенной на широкой стенке волновода. Объемное распределение магнитного тока диполя, эквивалентного такой щели, запишем в виде:

Из подстановки (10-36) в (10-10) и (10-14) получим:

Подставив теперь в (10-25) и (10-28), найдем:

Согласно (10-24) и (10-27) продольные составляющие напряженности электрического и магнитного поля будут иметь при этом вид:

Поперечные составляющие поля определяются выражениями (10-30) и (10-31). Наинизший тип волны при этом также соответствует значениям электрические волны исчезают, а магнитные имеют только составляющие:

Как видно из (10-39), излучение щели максимально при и равно нулю при На критической длине волны при поперечная составляющая магнитного поля исчезает, а составляющие остаются конечными и не зависят от продольной координаты.