3-5. ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ

Рассмотрим изотропную среду с произвольно изменяющимися в пространстве параметрами ом. Зададим в объеме V рассматриваемого пространства некоторое распределение сторонних электрических и магнитных токов Возбуждаемое этими токами поле обозначим через

Оставив частоту колебаний неизменной, зададим в той же среде другое распределение сторонних токов . Возбуждаемое поле, соответствующее второму распределению токов, обозначим через

Сторонние токи и возбуждаемые ими поля связаны леммой Лоренца (3-13).

Пусть поверхность ограничивающая рассматриваемый объем V, является сферической с радиусом, стремящимся к бесконечности. Тогда в силу (324) поверхностный интеграл в (3-13) оказывается равным нулю и из леммы Лоренца следует формулировка теоремы взаимности:

Разъясним смысл теоремы взаимности на двух примерах. Пусть магнитные токи отсутствуют: а электрические токи являются токами диполей Герца. Тогда, обозначив через электрический момент первого диполя, а через электрический момент второго диполя, запишем:

где — трехмерная дельта-функция.

При этом из выражения (3-25) получим:

Но - э. д. с., наводимая вторым диполем в первом, с., наводимая первым диполем во втором.

Следовательно, выражение (3-26а) запишется так:

Таким образом, произведение электрического тока в первом вибраторе на наводимую в нем э. д. с. вторым вибратором равно произведению электрического тока во втором вибраторе на наводимую в нем э. д. с. первым вибратором.

Пусть в другом примере с двумя диполями первый является электрическим с моментом а второй магнитным с моментом Тогда опять, пользуясь -функцией, связывающей линейный ток с его объемным распределением, из формулы (3-25) получим:

где - э. д. с., наводимая магнитным диполем в электрическом, a - м. д. с., наводимая электрическим диполем в магнитном.

Выражение (3-27а), следовательно, можно записать так:

Таким образом, произведение возбуждающего тока в электрическом диполе на наводимую в нем э. д. с. магнитным диполем равно произведению возбуждающего тока в магнитном диполе на наводимую в нем м. д. с. электрическим диполем.

Теорема взаимности играет большую роль в теории цепей и, в частности, в теории излучения и приема радиоволн.

Отметим, что теорема взаимности остается верной и для анизотропных сред с симметричными тензорами диэлектрической и магнитной проницаемостями. Но она теряет силу для гироэлектрических и гиромагнитных сред. На доказательстве этих утверждений мы здесь останавливаться не будем.