11-2. ВОЗБУЖДЕНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО РЕЗОНАТОРА

Для определения поля, возбуждаемого произвольным распределением сторонних токов в цилиндрическом резонаторе, мы воспользуемся результатами гл. 10. При этом в нашем распоряжении имеются две возможности построить искомое решение. Во-первых, мы можем считать, что цилиндрический

резонатор образован из круглого волновода с помощью двух поперечных стенок. Тогда, пользуясь приведенными в § 10-3 выражениями для поля электрических и магнитных волн, мы получим формулы для составляющих поля в цилиндрическом резонаторе таким же путем, как сделали это для прямоугольного резонатора. Во-вторых, можно предположить, что цилиндрический резонатор представляет собой радиальную линию, ограниченную с внешней стороны цилиндрической идеально проводящей стенкой. В этом случае решение можно получить на основе использования результатов § 10-4. Оба пути построения решения, вообще говоря, равноправны, хотя для выполнения практических расчетов может оказаться более удобной либо первая, либо вторая форма представления решения. Критерием является скорость сходимости рядов, которая зависит от соотношения между высотой резонатора и его диаметром.

Рис. 11-3. Цилиндрический резонатор.

Продемонстрируем сначала первый способ решения. Итак, рассмотрим цилиндрический резонатор, высота которого равна , а радиус . Ось цилиндрической системы координат соместим с продольной осью резонатора (рис. 11-3). Будем считать, что стенки резонатора выполнены из идеально проводящего материала, а среда, заполняющая резонатор, имеет параметры Поле в резонаторе будем искать в виде суперпозиции электрических и магнитных волн, распространяющихся в круглом волноводе вдоль оси Сначала обратимся к электрическим волнам. Продольная составляющая поля этих волн будет равна:

где определяется выражениями (10-50), (10-51), (10-52) и (10-10), мы будем искать в форме:

Наложим граничное условие на суммарное поле электрических волн при Это условие будет выглядеть следующим образом:

где находятся из выражений (10-57). После подстановки выражений для соответствующих составляющих поля в граничные условия (11-37) можно убедиться, что останутся два независимых уравнения относительно коэффициентов Определив эти коэффициенты, мы можем затем найти продольную составляющую суммарного электрического поля:

где

В формуле (11-40) в аргументе гиперболического косинуса верхний знак берется при а нижний — при функция определяется выражением (10-10). Поперечные составляющие поля также представим в виде двойных рядов:

где

В формулах (11-42) при перед у берется знак и в аргументе гиперболического тангенса величина z, а при знак и величина

Таким же путем можно получить решение для поля магнитных волн, распространяющихся вдоль оси z. В этом случае суммарное поле должно удовлетворять граничным условиям:

Найдя отсюда неизвестные комплексные амплитуды отраженных волн, мы сможем определить продольную составляющую суммарного магнитного поля, которая будет равна:

Здесь верхний знак выбирается в случае а нижний — в случае функция может быть найдена по формуле (10-14) по заданному распределению сторонних токов. Поперечные составляющие поля магнитных волн определяются формулами:

где

В формулах (11-47) порядок выбора знака и аргумента гиперболического котангенса точно такой же, как и формулах (11-42).

Ясно, что с помощью формулы (5-46а) выражения для поля электрических и магнитных волн можно представить в виде тройных бесконечных сумм. Поскольку этот прием уже был использован в § 11-1, мы не будем здесь на нем останавливаться.

Структуру поля в резонаторе, описываемую выражениями (11-38) — (11-42), можно назвать полем поперечномагнитных колебаний, а структуру поля, описываемую выражениями (11-43) - (11-47), - полем поперечноэлектрических колебаний. Резонанс для обоих случаев наступает всякий раз, когда знаменатели выражений (11-34) и (11-39) обращаются в нуль, т. е. когда

Следовательно, собственная резонансная частота может быть найдена по формуле

Каждый тип поперечномагнитных колебаний можно обозначить символом Ептр, а каждый тип поперечноэлектрических колебаний — символом Число так же как в случае прямоугольного волновода, может принимать значения для колебаний для колебаний Значение для поперечноэлектрических колебаний недопустимо, ибо при этом тождественно равняется нулю. Следовательно, наинизшими типами обоих видов колебаний являются

Заметим, что в цилиндрическом резонаторе возможно и вырождение колебаний, отмечавшееся в § 11-1 для прямоугольного резонатора. Вырождение связано прежде всего с осевой симметрией резонатора. При одном и том же значении в резонаторе могут возникнуть две структуры поля

одного и того же типа колебаний, но повернутые друг по отношению к другу на угол Подобное вырождение называется поляризационным (поворотным). Кроме этого вида вырождения, возможно также вырождение для колебаний типов Это вырождение является следствием известного соотношения для функций Бесселя:

откуда следует, что для этих типов колебаний.

Приведенные в § 11-1 общие формулы для определения добротности при конечном значении проводимости стенок сохраняют, конечно, свою силу и для цилиндрического резонатора.

Рассмотрим в качестве примера частный случай возбуждения цилиндрического резонатора. Предположим, что в боковой стенке резонатора прорезана элементарная поперечная щель, к краям которой приложено напряжение высокой частоты. Тогда, как уже неоднократно указывалось в этой книге, щель можно заменить магнитным диполем, объемная плотность тока которого равна:

Подставив (11-49) в (10-10) и (10-14), получим:

Далее путем подстановки (11-50) в (11-40) и (11-45) и интегрирования по частям по в тех случаях, когда интегралы содержат производные от дельта-функции, найдем:

Наконец, с помощью формул (11-39) и (11-44) определим гармоники двойных рядов для продольных составляющих электрического и магнитного поля:

Поперечные составляющие поля можно найти по формулам (11-41), (11-42) и (11-46), (11-47). Итак, мы можем заключить, что поперечная щель возбуждает в резонаторе как поперечномагнитные, так и поперечноэлектрические колебания. При этом осесимметричные поперечноэлектрические колебания возбудиться не могут.

Теперь обратимся ко второму возможному пути построения решения для поля в цилиндрическом резонаторе. С этой целью поместим в радиальном волноводе цилиндрическую стенку радиусом а, коаксиальную по отношению к оси волновода, и образуем цилиндрический резонатор (см. рис. 11-3). Поле, возбуждаемое внутри резонатора произвольным распределением сторонних источников, представим в виде суперпозиции электрических и магнитных волн радиального волновода. Кроме того, будем считать, что суммарное поле воле обоих видов складывается из падающего поля и поля, отраженного от цилиндрической стенки. Падающее поле будет определяться формулами (10-70) -(10-77), а отраженное поле по аналогии с падающим представим в виде:

Потребуем, чтобы суммарное поле удовлетворяло граничным условиям:

При этом для электрических волн оба граничных условия приведут к одинаковым выражениям, а для магнитных волн сохранится лишь второе условие. В результате мы получим по одному уравнению для неизвестных коэффициентов Найдя эти коэффициенты, подставим их в выражения для прямолинейных составляющих суммарного поля:

Напомним, что в этих формулах функции могут быть найдены по заданному распределению источников с помощью выражений (10-73) и (10-74). Стоит отметить, что ход построения решения и структура полученных формул подобны тем, которые рассматривались в задаче о внешнем возбуждении идеально проводящего цилиндра (см. § 5-1). Однако в данном случае функции и имеют более сложный характер, так как они содержат дифференциальные операторы по отношению к сторонним токам. Криволинейные составляющие суммарного поля в резонаторе могут быть найдены по формулам (10-76) и (10-77).

В формулах (11-55) и (11-56) резонансы для полей обоих видов характеризуются случаем, когда

где корень функции Бесселя порядка.

Следовательно, собственная резонансная частота будет определяться формулой

При этом следует иметь в виду, что суммирование по формулах (11-55) и (11-56) производится независимым образом.

Литература к гл. 11

(см. скан)