2-7. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ БЕСКОНЕЧНО ПРОТЯЖЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ТОКА

Пусть в неограниченном однородном пространстве задан вдоль оси z линейный электрический ток. Будем считать, что амплитуда тока постоянна, а фаза его меняется по линейному закону, т. е. в направлении оси z распространяется бегущая волна тока. Аналитически объемное распределение такого тока представим с помощью выражения

которое означает, что ток задан в виде бесконечно тонкой нити, расположенной в точке с координатами Коэффициент фазы определяет скорость распространения волны тока вдоль оси

Согласно выражениям (2-64) векторный потенциал заданного тока имет только продольную составляющую. Подставим в (2-64) выражения (2-81) и (2-22), обозначив в последнем выражении через для того чтобы отличить от соответствующего обозначения в (2-81). Произведя указанное в (2-64) интегрирование, получим:

где

Выражение (2-82) упростится, если нить расположить в начале координат, т. е. если положить Тогда

и вместо (2-82) мы получим:

Между прочим, из сопоставления (2-82) и (2-83) следует теорема сложения

где

Пользуясь выражением (2-83), по формулам (1-29) найдем напряженность магнитного поля:

Напряженность электрического поля удобно определить из первого уравнения Максвелла:

Исследуем выражения (2-85) и (2-86) при различных знамениях h.

1. (k — действительная величина). Тогда и для раскрытия неопределенности в выражениях (2-85) и (2-86) следует иметь в виду, что

Таким образом, выражения (2-85) и (2-86) преобразуются к следующему виду:

Поле такой структуры образует плоскоцилиндрическую волну ТЕМ, распространяющуюся в направлении оси z со скоростью света в данной среде. При удалении от оси амплитуда этой волны убывает обратно пропорционально радиусу Отношение напряженности электрического поля к напряженности магнитного поля равно волновому сопротивлению среды:

Рис. 2-4. Картина поля волны ТЕМ в коаксиальной линии.

Отметим, что подобная волна может существовать в коаксиальной линии. Действительно, если коаксиально с нитью электрического тока расположить идеально проводящую трубку произвольного радиуса, то граничные условия на такой трубке будут удовлетворяться. Поперечное сечение коаксиальной линии и картина электрических и (Магнитных силовых линий показаны на рис. 2-4.

2. h=0 (синфазная нить тока). В этом случае и составляющие поля определяются выражениями:

Поскольку. находятся на больших расстояниях в фазе, что видно из асимптотического выражения для функции Ганкеля

то можно сказать, что синфазный линейный ток излучает цилиндрические ТЕМ волны, распространяющиеся со скоростью света в направлении оси Поверхности равных фаз имеют форму цилиндров, а амплитуда поля убывает при удалении от оси нити, как

На малых расстояниях функции Ганкеля приближенно определяются формулами:

и поэтому вблизи нити тока электрическое и магнитное поля приближенно определяются формулами:

(вдоль оси распространяется быстрая волна тока). Теперь является действительной положительной величиной, и поэтому присутствуют все три составляющие поля: причем для среды без потерь находятся в фазе всюду, а находятся в фазе при большом удалении от оси где справедливо асимптотическое представление функции Ганкеля. Вектор Пойнтинга имеет как радиальную, так и продольную составляющие и направлен под углом у к оси (рис. 2-5). Этот угол может быть определен из соотношений:

В направлении электромагнитная волна распространяется со скоростью света в данной среде в направлении оси скоростью и в направлении оси со скоростью

(вдоль оси распространяется медленная волна тока). В этом случае становится мнимой отрицательной величиной. На больших расстояниях от нити тока амплитуды составляющих поля убывают в направлении оси по экспоненциальному закону; кроме того, в силу цилиндрического характера волны происходит убывание амплитуды по закону Вектор Пойнтинга имеет мнимую составляющую в направлении оси сдвинуты по фазе на 90°) и действительную составляющую в направлении оси z. Таким образом, вдоль оси z распространяется плоскоцилиндрическая поверхностная волна, подобная плоской поверхностной волне, рассмотренной в § 2-4. Амплитуда цилиндрической поверхностной волны, однако, затухает быстрее при удалении от направляющей ее нити за счет множителя

Рис. 2-5. К определению направления излучения линейного тока.