2-1. РЕШЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Пусть в некотором объеме V неограниченного и изотропного пространства задано распределение объемной плотности сторонних электрических или магнитных токов Определим векторный потенциал А, создаваемый этими токами.

Для этой цели представим волновое уравнение (1-30) в декартовой системе координат. Поскольку любой вектор определяется через его составляющие в прямоугольных координатах посредством выражения

для любой компоненты векторного потенциала волновое уравнение запишется так:

Для решения волнового неоднородного уравнения (2-1) воспользуемся разложением Фурье. Представим рассматриваемую компоненту векторного потенциала в виде произведения трех функций:

Функция задана на интервале Поэтому разложим ее в интеграл Фурье:

где — спектральная плотность.

Выражение (2-3) можно трактовать как бесконечный набор плоских однородных волн, распространяющихся в положительном и отрицательном направлениях оси х с фазовыми скоростями, определяемыми выражением где играет роль волнового числа; амплитуды этих волн не зависят от координаты х.

Аналогично (2-3) произведем разложение в интеграл Фурье функций также заданных на бесконечном интервале:

Подставив эти разложения в (2-2), получим:

Таким образом, составляющая векторного потенциала разлагается в тройной интеграл Фурье с неизвестной спектральной плотностью

Подставив теперь разложение (2-4) в уравнение (2-1), для составляющей объемной плотности тока получим:

Следовательно, заданная функция распределения стороннего тока представляется также в виде разложения в тройной интеграл Фурье. Таким образом, оказывается, что спектральная плотность разложения стороннего тока отличается от спектральной плотности искомой функции лишь множителем

Распределение известной плотности стороннего тока при этом лолжно подчиняться условиям разложимости в интеграл Фурье, что всегда имеет место в физических задачах.

Для определения спектральной плотности искомой функции воспользуемся обратным преобразованием Фурье. Для этой цели умножим (2-5) на комплексно сопряженные функции

где — фиксированные пока значения и проинтегрируем полученное выражение по всему бесконечному пространству:

Теперь заметим, что

есть -функция Дирака, равная нулю всюду, за исключением особой точки где она превращается в бесконечность [Л. 1], причем

С учетом последнего свойства -функции приходим к соотношению

или, перенеся штрихи с волновых чисел на пространственные координаты, получим:

Выражение (2-6) определяет спектральную плотность из) в искомом разложении (2-4). Эта спектральная плотность зависит от распределения стороннего тока в пространстве, причем в (2-6) интеграл берется только по тем точкам в пространстве, где имеются токи. Составляющая векторного потенциала в выражении (2-4) определяется для фиксированной точки наблюдения которая может находиться как внутри объема, занимаемого сторонними токами, так и вне его.

Подставив (2-66) в (2-4) и меняя порядок интегрирования, получим равенство

в котором

— функция Грина для свободного пространства

Выражение (2-7) справедливо для всех трех составляющих векторного потенциала. Если перейти к векторному потенциалу, то получим:

где через обозначена точка наблюдения поля, а через - точка источников поля.

Функция Грина является функцией двух точек — точки источников поля и точки наблюдения поля Относительно этих двух точек она является симметричной. Как будет видно ниже, функция Грина (2-8) может быть представлена в различных формах.

Векторы напряженности магнитного поля Н и электрического поля Е в любой точке пространства теперь могут быть определены подстановкой выражения (2-9) для электрического или магнитного тока в формулы (1-29).

Заметим, что аналогичным образом могут быть решены для неограниченного однородного пространства и волновые уравнения для векторов поля (1-26). Решения при этом получаются в виде:

где функция Грина определяется той же формулой (2-8).

Можно, конечно, показать, что определение поля по формулам (2-9) и (1-29) или (2-10) и (2-11) приводит к одним и тем же результатам.