2-9. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В СФЕРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Представим в сферической системе координат электромагнитное поле заданных электрических и магнитных токов в свободном пространстве. С этой целью перейдем в выражении (2-7) от прямоугольных составляющих к криволинейным, используя согласно (1-87) соотношения:

и аналогичные соотношения для . В результате получим:

где

Выражения (2-94) при подстановке их в формулы (1-29) позволяют найти электромагнитное поле в любой точке наблюдения по известному распределению источников в точках Часто, однако, бывает полезно представить полное электромагнитное поле в виде суперпозиции электрических и магнитных волн, распространяющихся в направлении оси

Для того чтобы выразить радиальные составляющие напряженности электрического и магнитного поля через составляющие сторонних токов, запишем соотношения (1-29) для точек пространства, в которых отсутствуют источники, в форме:

а выражение (2-9) перепишем следующим образом:

Подставим (2-96) в (2-95) и умножим левую и правую части полученных выражений скалярно на произвольный вектор а, помещенный в точке наблюдения

Индексы дифференциальных операторов будут использоваться для того, чтобы различать дифференцирование по координатам точки наблюдения и точки источников . С помощью соотношений

и

доказательство которых приводится в приложении 1, преобразуем подынтегральные выражения в (2-97):

Возьмем в качестве вектора а единичный координатный вектор . Тогда формулы (2-100) примут вид:

Для того чтобы выполнить под интегралом в (2-101) дифференцирование по точкам источников поля, надо единичный вектор из точки перенести параллельно самому себе в току Поскольку система координат криволинейна, составляющие этого вектора в точке изменятся и для их определения надо воспользоваться выражениями (1-87) и (1-88). В результате получится связь

Подставив (2-102) в (2-101), найдем:

Теперь заметим, что согласно (2-30) функция Грина имеет вид:

Подставив это выражение в (2-103), увидим, что первое слагаемое равно нулю, второе слагаемое равно и третье слагаемое равно—Таким образом, выражение (2-103) упрощается и сводится к следующему:

Внеся (2-104) в (2-101), получим:

Наконец, подставим в выражения (2-105) разложение функции Грина (2-28). Тогда, учитывая, что

для радиальной составляющей электрического поля получим следующее окончательное выражение:

где

и

Аналогично для радиальной составляющей магнитного поля получим выражение

где

и

В формулах (2-108) и (2-111) использованы следующие обозначения:

при

при

После приведенных преобразований выражений для радиальных составляющих полей мы можем представить электромагнитное поле сторонних электрических и магнитных токов, распределенных в неограниченном пространстве, в виде наложения электрических и магнитных волн. При этом поперечные составляющие поля выразятся через радиальные составляющие. Запишем поперечные составляющие поля в виде суммы двух слагаемых:

Тогда из однородных уравнений Максвелла для электрических волн получатся выражения:

Для магнитных волн получатся выражения:

Подстановка выражений (2-106), (2-109), (2-113) и (2-114) в однородные уравнения Максвелла приводит для функций к следующим уравнениям:

Нетрудно убедиться в том, что выражения (2-107) и (2-110) удовлетворяют уравнениям (2-115).

Представление электромагнитного поля в виде наложения электрических и магнитных волн для сторонних электрических и магнитных токов в свободном пространстве в сферической системе координат было получено нами раньше [Л. 4] в ином (несколько громоздком) виде.