11-1. ВОЗБУЖДЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНОГО РЕЗОНАТОРА

Рассмотрим общее решение задачи о возбуждении прямоугольного резонатора, стенки которого выполнены из идеально проводящего материала. Оси прямоугольной системы координат х, у, z совместим с ребрами резонатора и длины этих ребер обозначим через и с (рис. 1.1-1). Электромагнитное поле, возбуждаемое в резонаторе произвольным распределением сторонних источников, можно искать различными способами. Например, можно найти выражения для векторных потенциалов электрических и магнитных сторонних токов при условии, что эти выражения удовлетворяют граничным условиям на внутренней поверхности резонатора. Затем с помощью формул (1-29) нетрудно определить электрическое и магнитное поле в любой точке резонатора. Однако экономнее будет воспользоваться результатами § 10-2, в котором получены выражения для поля электрических и магнитных волн, распространяющихся в бесконечном прямоугольном волноводе.

Рис. 11-1. Прямоугольный резонатор.

Итак, будем считать, что наш резонатор образован из бесконечного волновода, продольная ось которого совпадает с осью с помощью двух поперечных стенок, расположенных при Тогда электромагнитное поле в резонаторе будет складываться из падающего (первичного) поля сторонних источников и отраженного от поперечных стенок (вторичного) поля.

Рассмотрим сначала поле электрических волн. Продольная составляющая суммарного электрического поля будет равна:

где определяется формулами (10-23), (10-24), (10-25) и (10-10), а по аналогии с падающим полем представим в виде двойного ряда:

В выражении (11-3) слагаемое с коэффициентом изображает волну, отраженную от стенки при а слагаемое с коэффициентом — волну, отраженную от стенки при Суммарное электрическое поле должно удовлетворять граничным условиям при . В нашем случае эти условия примут вид:

где Еэхпт и Е задаются выражениями (10-30). При выборе знака перед в этих выражениях следует иметь в виду, что отраженные волны создаются токами, текущими на поперечных стенках, и именно эти токи следует принимать за сторонние источники поля

Граничные условия (11-4) для Еэхпт и оказываются совпадающими и каждое из них приводит к системе уравнений относительно коэффициентов

В (11-5) через и обозначена функция [см. формулу (10-25)], в которой берется знак или перед показателем экспоненты. Из уравнений (11-5) находим:

Теперь с помощью выражений (10-23) -(10-25) и (11-2), (11-3), (11-6) мы можем представить продольную составляющую суммарного электрического поля в виде:

где

В формуле (11-9) в аргументе гиперболического косинуса верхний знак берется при а нижний — при функция определяется выражением (10-10). Множитель можно также представить в форме:

Поперечные составляющие поля также характеризуются двойными рядами:

где

В формулах (11-11) при перед берется знак и в аргументе гиперболического тангенса величина а при знак и величина

Составляющую суммарного поля с помощью формулы (5-46а) можно представить и в иной форме. Для этого достаточно перейти от гиперболических функций к тригонометрическим, считая величину

чисто мнимой, и аргумент этих функций привести к виду:

В результате получим:

Поперечные составляющие поля также могут быть представлены в виде тройных рядов:

где

Значения определяются следующими формулами:

Итак, мы получили два формально эквивалентных представления поля электрических волн в прямоугольном резонаторе. Хотя каждое из этих представлений можно с помощью формулы (5-46а) преобразовать из одного в другое, при выполнении практических расчетов форма записи поля (11-7), (11-8), (11-9) имеет безусловное преимущество перед формой записи (11-12), (11-13), (11-14). Действительно, наличие двух бесконечных сумм в первой форме записи существенно упрощает вычислительную работу по сравнению со второй формой записи. При нахождении поля на источнике, где оно терпит разрыв, с помощью первого представления легче удается описать этот разрыв. Использование же второго представления требует аккуратного вычисления предельного значения ряда Фурье при

С другой стороны, вторая форма записи за счет своей симметрии наглядно демонстрирует равноправие всех трех координат х, у и z при описании поля в прямоугольном резонаторе. К тому же в ряде пособий, рассматривающих вопросы колебаний в объемных резонаторах, поле представляется именно в виде тройной бесконечной суммы (тройного ряда по мембранным функциям). Читателю теперь должно быть ясно, что оба вида представлений поля эквивалентны и что путь построения решения зависит от вкусов автора. На наш взгляд, применение истокообразных функций в данной задаче быстрее приводит к окончательным результатам.

По виду полученных выражений для поля (11-12) мы можем заключить, что поле в резонаторе складывается из бесконечного числа стоячих волн, возникающих в направлении всех трех осей: х, у и z. Теперь уже нет смысла говорить об электрических волнах, а удобнее называть возникающую структуру поля поперечномагнитными колебаниями. Каждый тип таких колебаний обозначается символом При этом следует, конечно, помнить о том, что направление, относительно которого колебания считаются поперечными, в прямоугольном резонаторе можно по желанию выбрать совпадающим с осью z, х или у.

Рис. 11-2. Структура колебаний

Из формулы (11-1.3) следует, что при заданных размерах резонатора фиксированных значениях и I всегда можно подобрать рабочую частоту так, что знаменатель (11-13) обратится в нуль. Это значит, что амплитуда составляющей а вместе с ней и всех других составляющих поля возрастет до бесконечности в резонаторе без потерь В этом случае частота колебаний стороннего источника совпадает с собственной резонансной частотой колебаний типа Епти которая равна:

При наличии потерь в стенках резонатора или в среде, заполняющей его, амплитуды поля при резонансе имеют конечное, хотя и большое, значение и определяются величиной Эта величина в свою очередь зависит от распределения сторонних токов, варьируя которое можно регулировать эффективность возбуждения даного типа колебаний.

Наинизшим типом поперечномагнитных колебаний, соответствующим первым значениям чисел и наименьшему значению собственной частоты является тип структура поля которого показана на рис. 11-2, а составляющие электрического и магнитного поля определяются выражениями:

Рассмотрим теперь поле, образуемое магнитными волнами в прямоугольном волноводе после помещения в этот волновод двух поперечных идеально проводящих стенок при т. е. после превращения волновода в резонатор (см. рис. 11-1). Представив, так же как и в случае электрических волн, падающее поле в форме, определяемой выражениями (10-26), (10-27), (10-28) и (10-14), а отраженное поле в виде:

потребуем выполнения граничных условий:

откуда следует:

Подставив (11-21) в (11-20) и сложив падающее и отраженное поля, получим формулы, определяющие составляющую суммарного поля в резонаторе:

где

Здесь определяется выражением (10-14). Множитель можно записать и в ином виде:

Поперечные составляющие поля определяются двойными рядами вида:

где

Знак и аргумент z берутся в случае а знак и аргумент — в случае . В формулах (11-19) и (11-20), так же как и в формуле (10-26) для прямоугольного волновода, не могут одновременно равняться нулю.

К выражениям (11-23) и (11-24) опять-таки можно применить формулу (5-46а) и получить другую форму записи для составляющей

Поперечные составляющие для этой формы записи поля будут выражаться формулами:

Соображения, высказанные при сравнении двух форм записи поля электрических волн, сохраняют свою силу и в случае магнитных волн.

Структуру поля, описываемую выражениями (11-22) — (11-26) или (11-27) — (11-30), можно называть поперечноэлектрическими колебаниями и обозначать каждый тип таких колебаний символом Собственная частота колебаний типа определяется формулой (11-17). Наинизшим типом колебаний будет или . В этом случае будут присутствовать составляющие поля Ну и или Следовательно, структура поля наинизшего типа поперечноэлектрических колебаний имеет тот же вид, что и структура поля колебаний (см. рис. 11-2), с тем отличием, что теперь вектор Е будет направлен не вдоль оси а вдоль оси х или у.

Следует обратить внимание на тот факт, что при одних и тех же значениях чисел и I возможен резонанс как для поперечномагнитных колебаний так и для поперечноэлектрических колебаний Это значит, что в резонаторе могут существовать две различные структуры поля с одинаковыми резонансными частотами. Такое явление называется вырождением колебаний. Если, однако, одно из чисел равно нулю, то вырождения не возникает, потому что, как мы видели выше, в этом случае возможно возбуждение либо поперечномагнитных, либо поперечноэлектрических колебаний. Заметим, что в квадратном волноводе возможно

поляризационное или поворотное вырождение. Кроме двукратного вырождения, может иметь место и вырождение более высокой кратности. Это происходит тогда, когда отношения размеров резонатора с являются рациональными числами. Скажем, при одной собственной частоте соответствуют типы колебаний т. е. происходит по крайней мере четырехкратное вырождение.

Остановимся коротко на вопросе о добротности резонатора. Как и в теории обычных колебательных контуров, добротностью объемного резонатора называют отношение запасенной в резонаторе энергии электромагнитного поля к энергии потерь за один период колебаний. При резонансе имеет место равенство

и добротность можно найти по формуле

Если считать, что среда, заполняющая резонатор, не имеет потерь, то рассеяние энергии возможно лишь за счет конечной проводимости стенок резонатора. Мощность потерь можно выразить через амплитуду поверхностного электрического тока и сопротивление единицы поверхности резонатора следующим образом:

где ( — глубина проникновения поля в стенку). Если учесть, что амплитуда поверхностного электрического тока численно равна амплитуде касательной составляющей магнитного поля на стенке и что глубина проникновения может быть связана с проводимостью стенки с помощью выражений (2-61), то формулу (11-31) можно представить в виде:

Предположим, что стенки резонатора и заполняющая его среда не обладают магнитными свойствами

Тогда выражение для добротности еще более упростится:

Введем средние значения квадратов напряженности магнитного поля по объему и поверхности, после чего перепишем (11-34) в виде:

Отсюда следует, что добротность объемного резонатора прямо пропорциональна отношению его объема к поверхности стенок и, кроме того, зависит от характера распределения магнитного поля.

Для колебаний типа добротность может быть найдена путем подстановки в (11-34) выражений (11-18) для магнитного поля. Выполнив интегрирование, можно убедиться, что добротность этого типа колебаний равна:

При этом следует, конечно, учитывать то обстоятельство, что в резонаторе, стенки которого имеют конечную проводимость, поле будет описываться не выражениями (11-18), а другими, найденными из решения гораздо более сложной задачи для резонатора с полупроводящими стенками. Однако при достаточно большой проводимости металла допускаемая погрешность невелика и величина добротности весьма точно оценивается по найденному выражению.