6-6. ВОЗБУЖДЕНИЕ ШАРА БОЛЬШОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО РАДИУСА

Формулы (6-1) — (6-3) и (2-106) — (2-114) определяют электромагнитное поле сторонних токов, расположенных вблизи идеально проводящего шара в виде разложения по спектру собственных волн, распространяющихся в радиальном направлении. Эти формулы оказываются удобными при расчете поля для шара небольшого электрического диаметра. Для шара с большим электрическим диаметром получающиеся ряды сходятся медленно.

Как указал Зоммерфельд {Л. 2], решение задачи о возбуждении шара может быть представлено и в виде спектра собственных волн, распространяющихся в меридиональном направлении. Оказывается, что получающиеся при этом ряды в некоторых случаях быстро сходятся для шара большого электрического диаметра. Эта задача будет исследована нами применительно к возбуждению идеально проводящего шара радиальными электрическими и магнитными токами, а затем полученное решение будет распространено на произвольное распределение электрических и магнитных токов.

Итак, рассмотрим идеально проводящий шар радиусом а. возбуждаемый произвольным распределением радиальных электрических и магнитных токов (см. рис. 6-1). Выразим электромагнитное поле в виде наложения электрических и магнитных волн и представим составляющие поля в виде разложения по собственным волнам, распространяющимся в меридиональном направлении.

Для электрических волн запишем:

Эти выражения сконструированы по аналогии с выражениями (2-106), (2-107) и (2-113). Однако здесь радиальные функции являются не истокообразными, а собственными. Индексы этих функций V выбираются так, чтобы выражения (6-29) удовлетворяли граничным условиям на поверхности идеально проводящего шара. Следовательно, набор собственных чисел в формулах (6-29) определяется из следующего трансцендентного уравнения:

Истокообразными в данном случае являются функции зависящие от меридионального угла.

Подставив выражения (6-29) в неоднородные уравнения Максвелла (1-19а) и полагая в последних мы увидим, что уравнения Максвелла удовлетворяются, если функции подчиняются уравнению

Для магнитных волн мы запишем:

Для того чтобы поле магнитных волн удовлетворяло граничным условиям, на радиальные функции нужно наложить условие

Из трансцендентного уравнения (6-33) определяется набор собственных чисел для поля магнитных волн.

Подставив выражения (6-32) в неоднородные уравнения Максвелла (1-19а) и полагая в них мы увидим, что уравнения Максвелла опять удовлетворяются, если функции подчиняются уравнению

Прежде чем перейти к определению функций необходимо использовать условия ортогональности азимутальных и радиальных функций. Мы заметим прежде всего, что для азимутальных функций

Чтобы найти условие ортогональности для радиальных функций, используем дифференциальное уравнение сферических функций Бесселя, которому подчиняются эти функции:

Заменив индекс индексом запишем также:

Умножим (6-36а) на а (6-36б) на и вычтем из первого уравнения второе. Затем полученное выражение проинтегрируем по от а до Тогда получим:

Интегрируя правую часть по частям, найдем:

В силу условия (6-30) или (6-33) правая часть (6-37) равна нулю для нижнего предела. Для верхнего предела правая часть (6-37) равна нулю в силу принципа излучения на бесконечности. Отсюда следует условие ортогональности для ра-диальных функций:

При из уравнения (6-37) получается выражение для нормы

Дифференцируем здесь числитель и знаменатель по

Отсюда, принимая во внимание (6-30) и (6-33), получим: для электрических волн

для магнитных волн

Теперь вернемся к уравнениям (6-31) и (6-34). Умножив левую и правую части этих уравнений на где — фиксированные значения те и проинтегрируем по от а до и по от 0 до Тогда в силу условий (6-35), (6-38) и (6-39), получим:

где

Таким образом, функции в выражениях (6-29) и (6-32) определяются уравнением (6-42). Решение этого уравнения будем искать методом вариации постоянных. В соответствии с этим методом представим решение неоднородного уравнения (6-42) в виде:

где — два линейно независимых решения уравнения (6-42) без правой части.

Варьируя постоянные, найдем:

где

Отметим теперь, что функция стремится к бесконечности при , а функция при . Но функция должна быть конечной всюду, поэтому в выражении (6-46) мы должны положить постоянные и равными нулю.

Далее отметим, что определяемое выражением (6-47) и умноженное на не зависит от угла и выражается через гамма-функции

Подставив теперь (6-43) и (6-45) в (6-46) и учитывая (6-48), для искомых функций получим окончательные выражения:

Таким образом, поле радиальных сторонних токов вблизи шара представлено в виде разложения по полной системе собственных волн, распространяющихся в меридиональном направлении. Полученное решение удовлетворяет граничным условиям на поверхности шара и на бесконечности, удовлетворяет уравнениям Максвелла и условиям на источниках. Оно, следовательно, определяет истинное поле, существующее вокруг шара.

Перейдем теперь к определению решений для поля сторонних токов с произвольным распределением. С этой целью обратимся к теореме эквивалентности и используем выражения (3-15б) и (3-16б).

В качестве вспомогательных полей возьмем поле радиального электрического диполя с единым моментом помещенного в точку наблюдения и поле радиального магнитного диполя с единичным моментом помещенного (в ту же точку при «аличии идеально проводящей сферы (см. рис. 6-1). При этом поверхностные интегралы в (3-15б) и (3-16б) исчезают в силу граничного условия на поверхности шара и радиальные составляющие искомого поля определяются формулами:

Найдем поле вспомогательного электрического диполя. Для этого прежде всего определим функцию подставив в формулу (6-49) значение

где — координаты точки диполя.

Тогда получим:

где

Подставив теперь (6-53) в выражения (6-29), для поля вспомогательного электрического диполя получим:

Подставим выражения (6-54) в (6-51). Тогда для радиальной составляющей искомого электрического поля в точке найдем:

и

Перейдем в выражениях (6-55) и (6-56) от переменных и от Кроме того, заменим на при этом учтем, что

Тогда для радиальной составляющей искомого электрического поля получим окончательные выражения:

Если в качестве вспомогательного источника взять радиальный магнитный диполь, то формула (6-52) позволит определить радиальную составляющую напряженности магнитного поля для произвольно распределенных электрических

и магнитных возбуждающих токов. Произведя вычисления, аналогичные вычислению радиальной составляющей напряженности электрического поля, найдем:

Меридиональные и азимутальные составляющие напряженности электрического и магнитного поля определяются по формулам (6-29) для электрических волн и по формулам (6-32) для магнитных волн.

Таким образом, формулы (6-29), (6-57) и (6-32), (6-59) позволяют определить электромагнитное поле в любой точке пространства вне идеально проводящего шара при произвольном распределении сторонних электрических и магнитных токов.

На примере возбуждения сферы бесконечно узкой синфазной кольцевой щелью покажем, что полученное нами представление решения быстро сходится при (а — радиус сферы) в области геометрической тени источника.