7-4. МЕТОД ВИНЕРА—ХОПФА И ПРИМЕНЕНИЕ ЕГО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ О ВОЗБУЖДЕНИИ ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ

Интегральные преобразования находят широкое применение при решении краевых задач электродинамики. Решения задачи отражения радиоволн от плоской границы раздела

двух сред, задачи дифракции электромагнитных волн на цилиндре, задачи возбуждения бесконечного металлического клина получаются наиболее эффективно с применением интегрального преобразования Фурье на бесконечном интервале Применение интегрального преобразования к дифференциальному уравнению и граничным условиям сводит задачу к алгебраическому уравнению относительно спектральной плотности искомой функции, решение которого, как правило, является более простым, чем решение исходного дифференциального уравнения. Особенно легко найти выражение для спектральной плотности, когда граничные значения искомой функции заданы во всем интервале применения интегрального преобразования. Однако существует класс задач, в которых спектральная плотность может быть найдена и в случае определения краевых условий на части интервала интег рального преобразования. Метод решения уравнения для спектральной (плотности в таких случаях использует особые свойства спектральной плотности как аналитической функции комплексной переменной с известным поведением на бесконечности. Этот метод был предложен в 1932 г. Винером и Хопфом [Л. 2] при решении интегрального уравнения с разностным ядром и полубесконечным интервалом интегрирования. Интегральные уравнения такого типа в электродинамике получаются при решении задачи дифракции плоской волны на металлической полуплоскости, при решении задачи излучения из открытого конца круглого волновода и т. п., т. е. как раз в тех случаях, когда граничные значения искомой функции, например типа можно установить только в интервале Применение преобразования Фурье в интервале для решения подобных задач приводит к уравнению для спектральной плотности, решаемому методом Винера и Хопфа [Л. 6].

Рис. 7-8. Возбуждение полуплоскости нитью тока.

Чтобы подробно проследить особенности этого математического метода, рассмотрим конкретную задачу о излучении бесконечной синфазной нити электрического тока в присутствии идеально-проводящей тонкой полуплоскости. Пусть в прямоугольной системе координат положение нити характеризуется координатами а край полуплоскости совпадает с осью (рис. 7-8). Величина стороннего электрического тока не меняется по длине нити, следовательно, электромагнитное поле также не зависит от z (двумерная задача). Все компоненты электромагнитного поля, возбуждаемого нитью электрического тока, могут быть выражены через

компоненту векторного потенциала электрического тока, которая удовлетворяет неоднородному волновому уравнению

Рассматриваемая задача является довольно частным случаем возбуждения полуплоскости, однако она вполне позволяет проиллюстрировать суть математического метода без увеличения количества однородных выкладок, связанных с увеличением числа составляющих векторных потенциалов поля.

Применим к уравнению (7-37) преобразование Фурье, умножив его на и интегрируя по х от Пусть спектральная плотность функции

Потенциал по спектральной плотности определяется формулой обращения:

На плоскости комплексной переменной х функция является аналитической функцией в некоторой полосе, определяемой поведением при При определении полосы аналитичности обычно используется следующий прием. Считается, что среда, в которой распространяются электромагнитные волны, имеет потери и постоянная распространения является комплексной величиной:

В таком случае для при справедлива следующая оценка:

В соответствии с (7-40) полоса аналитичности определяемая значениями комплексной переменной , для которых сходится интеграл (7-38), задается неравенством

Когда потери в среде отсутствуют, и ширина полосы аналитичности также равна нулю. Это обстоятельство затрудняет дальнейшие манипуляции в плоскости комплексных значений х, поэтому в случае среды без потерь целесообразно пользоваться предельным переходом уже в окончательных выражениях.

В полосе функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению, получающемуся в результате применения интегрального преобразования Фурье к уравнению (7-37):

Это уравнение является однородным всюду, кроме точки и решение его может быть представлено для каждого из трех интервалов в виде комбинаций двух независимых решений:

В связи с оценкой (7-40) нетрудно сразу записать решения для

При выборе решения для интервала следует руководствоваться соотношениями, связывающими решения уравнения (7-42) по разные стороны от -источника в точке у

В силу этого функция содержит оба независимых решения (7-43) и имеет следующий вид:

Таким образом, спектральная плотность зависит от двух неизвестных функций которые нужно

определить из граничного условия на полуплоскости

Компоненты электромагнитного поля определяются по с помощью формул (1-29) следующим образом:

Равенство нулю , следовательно, при дает возможность установить некоторые свойства функции

Функция определенная интегралом (7-48), является регулярной в верхней полуплоскости комплексного переменного х, точнее при Этот вывод следует из несложных оценок интеграла (7-48) с учетом (7-43).

Разность

наоборот, отлична от нуля только при где она представляет собой поверхностный электрический ток на полуплоскости. Следовательно,

где — регулярна при по таким же соображениям, которые приводились относительно (7-48).

В (7-49) можно изменить порядок дифференцирования и интегрирования в силу равномерной сходимости интеграла в полосе аналитичности функции Используя (7-44) и (7-46), получаем:

Еще одно соотношение, связывающее получается из условия непрерывности а вместе с ним и при

Исключив теперь из (7-48), (7-50) и (7-51) функции получим функциональное уравнение относительно

То обстоятельство, что граничные условия заданы только на части интервала интегрального преобразования (от до 0), приводит к тому, что мы не можем сразу найти выражение для или . Фактически имеется только одно соотношение (7-51). связывающее их. Однако оказывается, что уравнение (7-52), также связывающее две неизвестные функции, удается решить, пользуясь специфическими свойствами как аналитических функций комплексного переменного.

Способ решения уравнений типа (7-52), предложенный Винером и Хопфом, заключается в следующем. Множитель при функции обозначаемый как (или множитель при если множителем является единица), представляется в виде произведения двух функций регулярных и не имеющих нулей соответственно в верхней и нижней полуплоскости комплексных значений х. Эта операция называется факторизацией, и для вычисления существуют регулярные формулы:

Равенство выполняется в полосе значений причем прямые лиши должны находиться в полосе существования уравнения (7-52) (рис. 7-9). Для справедливы, таким образом, неравенства Условием применимости формул (7-53) и (7-54) является требование убывания функции

равномерно в полосе —

Функция очевидно, не убывает при . В подобных случаях функциональное уравнение типа (7-52) нужно умножать почленно на некоторую функцию не изменяющую свойств (произведение остается регуляршм в нижней полуплоскости), но обеспечивающую выполнение условия (7-55).

Рис. 7-9. К решению уравнения (7-52).

В рассматриваемой задаче таким множителем является

и новое функциональное уравнение имеет вид:

В случае простых функциональных уравнений, таких, как (7-52), иногда можно угадать функции и нет необходимости в вычислении комплексных интегралов (7-53) и (7-54), хотя в общем случае без таких вычислений обойтись не удается. Что касается уравнения (7-56), то здесь

Функции в (7-57) не являются однозначными, точки их точки ветвления. При факторизации нужно выбрать такие ветви чтобы произведение имело положительную вещественную часть при в связи с выбором решений (7-44) и (7-45) уравнения (7-42).

Умножим уравнение (7-56) на подготовив его к следующему шагу решения функционального уравнения (7-52):

От каждого члена уравнения (7-58) вычислим интеграл Коши по контуру целиком расположенному в полосе существования уравнения (7-58): (рис. 7-9 и 7-10). В результате интегрирования в плоскости комплексных значений х получается уравнение следующего вида:

Для первого интеграла контур интегрирования можно дополнить полуокружностью бесконечного радиуса в верхней полуплоскости, так как интеграл по такому дополнительному контуру равен нулю.

Действительно, в полосе произведение к исчезает при вследствие убывания двух других членов уравнения (7-58), а при функция убывает в соответствии с определением (7-48). Внутри замкнутого контура интегрирования подынтегральная функция имеет единственную особенность полюс в точке (рис. 7-10) и интеграл равен вычету в этой точке:

Рис. 7-10. Контур интегрирования в формуле (7-59).

Второй интеграл в уравнении (7-59) представляет собой известную функцию, зависящую только от источника возбуждения.

В третьем интеграле контур интегрирования можно дополнить полуокружностью бесконечного радиуса в нижней полуплоскости х. Поскольку внутри такого замкнутого контура интегрирования отсутствуют какие-либо особенности, интеграл оказывается равным нулю. Таким образом, уравнение (7-59) фактически не содержит одну из неизвестных функций и может быть решено относительно другой неизвестной функции:

Определив функцию , равную в соответствии с (7-48), из уравнения (7-51) легко найти выражение для функции В (к):

Подставив функции в равенства (7-44), (7-45) и (7-46), найдем выражения для спектральной плотности в каждой из трех областей:

Используя для краткости функцию чтобы не выписывать комплексный интеграл (7-61), для спектральной плотности получим следующие формулы:

При помощи формулы обращения интегрального преобразования Фурье (7-39) получим, наконец, выражения для искомого векторного потенциала электрического тока:

Рассмотрим предельный случай положения нити электрического тока по существу эквивалентный дифракции плоской волны на полуплоскости:

В такой задаче оказывается возможным получить простую формулу для функции вычислив интеграл (7-61) методом перевала (см. § 4-2). При для функции при помощи метода перевала можно получить следующее выражение:

Множитель, заключенный в фигурные скобки, играет роль амплитуды падающей волны, возбуждаемой бесконечно удаленным источником,

При этом поле падающей волны описывается векторным потенциалом

Используя соотношение (7-67), для функции соответствующей дифракции плоской волны, получаем выражение

Определив, таким образом, функцию рассчитаем поверхностный электрический ток, возбуждаемый на металлической полуплоскости падающей плоской волной.

Поверхностная плотность электрического тока на освещенной стороне полуплоскости численно равна составляющей напряженности магнитного поля и определяется через векторный потенциал следующим образом:

Дифференцируя по у третье равенство в формулах (7-67) и полагая получим:

Ток на теневой стороне полуплоскостп определяется выражением

и с помощью формул (7-67) и (7-68) нетрудно получить:

При первый из интегралов в выражении (7-69) можно вычислить, пользуясь методом перевала.

Полагая получим при помощи метода перевала:

Используя соотношение (7-67) для амплитуды плоской волны, получим следующее равенство:

Перейдем теперь к вычислению комплексного интеграла в формуле (7-70), совпадающего, кстати, со вторым интегралом в выражении (7-69). Подставив выражение (7-68) для этот интеграл можно записать в следующем виде:

Интеграл является табличным и содержится в справочнике [Л. 3]:

Интеграл также сводится к табличному, если применить преобразование контура интегрирования. Дополним контур интегрирования полуокружностью бесконечного радиуса в верхней полуплоскости х (рис. 7-11). Поскольку внутри такого замкнутого контура единственной особенностью подынтегральной функции является точка ветвления при контур интегрирования можно преобразовать к двум лучам, расположенным по обеим сторонам разреза

(рис. 7-11). После замены переменной интегрирования х по формуле

получим:

Рис. 7-11. Контур интегрирования в формуле (7-52).

Этот интеграл сводится к интегралу вероятности комплексного аргумента:

Вычислив, таким образом, интегралы, содержащиеся в выражениях (7-69) и (7-70), для распределения поверхностного электрического тока получим следующие формулы:

Отметим, что найденное распределение поверхностного тока соответствует дифракции плоской электромагнитной волны, поляризованной параллельно краю полуплоскости.

На рис. 7-12 приведены графики распределения плотности электрического тока на освещенной и теневой сторонах полуплоскости Можно видеть, что ток на освещенной стороне резко меняется по величине вблизи края полуплоскости. Однако по мере удаления от края осцилляции быстро затухают и плотность тока практически не отличается от удвоенного значения Их падающей волны. Плотность тока на теневой стороне очень быстро убывает при

Рис. 7-12. Распределение амплитуды тока на полуплоскости, возбуждаемой удаленной нитью электрического тока. 1 — ток на освещенной стороне; 2 — ток на теневой стороне.

Важной особенностью рассматриваемого случая является увеличение поверхностных плотностей электрического тока до бесконечных как на освещенной, так и на теневой сторонах при Это явление называют кромочным эффектом. Оно приводит к концентрации энергии поля вблизи ребра и может вызвать распространение вдоль ребра так называемых кромочных волн. Влияние кромочного эффекта на диаграммы направленности диполей обсуждалось в § 7-2.

Рассмотрим теперь коротко случай поперечной поляризации падающей волны, вновь применив для расчета метод Винера — Хопфа. Вместо нити электрического тока возьмем теперь источник в виде бесконечной нити синфазного магнитного тока Векторный потенциал магнитного тока будет иметь единственную составляющую которая удовлетворяет уравнению, сходному с (7-37):

Обыкновенное дифференциальное уравнение для спектральной плоскости функции получается в результате применения интегрального преобразования Фурье к уравнению (7-77):

Решение уравнения (7-78) по-разному записывается для каждой из трех зон

Из непрерывности составляющей вектора напряженности электрического поля и, следовательно, производной вытекает следующая зависимость между :

Введем теперь, так же как в предыдущей задаче, функции регулярные соответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексного переменного к.

Граничное условие

при приводит к следующему равенству с (7-48)]:

Разность наоборот, равна нулю при Поэтому с (7-50)]

Исключив из последнего выражения при помощи равенств (7-80) и (7-81) получим функциональное уравнение

Уравнение (7-83) аналогично функциональному уравнению (7-52) и его решение находится тем же путем. Для функции имеем выражение следующего вида [ср. с (7-61)]:

При помощи функции не составляет труда определить спектральную плотность Искомый потенциал получается затем по формуле обращения интегрального преобразования:

Переход к дифракции на полуплоскости осуществляется удалением нити магнитного тока на бесконечность по какому-либо постоянному направлению:

Интеграл (7-84) при таких значениях вычисляется методом перевала, и для функции получается следующая формула:

Выражение

соответствует амплитуде плоской волны [ср. с (7-67)], и для случая дифракции записывается в таком виде:

Плотность поверхностного электрического тока равна значению составляющей вектора напряженности магнитного поля на полуплоскости, следовательно, пропорциональна при На освещенной стороне

На теневой стороне

В формуле (7-88) первый интеграл при может быть вычислен методом перевала и имеет следующее значение:

Второй интеграл в формуле (7-88) [или интеграл в (7-89)] при подстановке оказывается таким же, как (7-72). Он был вычислен в предыдущей задаче. Поэтому мы сразу запишем выражения для поверхностных токов

Таким образом, формулы (7-90) и (7-91) описывают распределение поверхностного электрического тока при дифракции плоской волны на идеально проводящей полуплоскости в случае перпендикулярной краю полуплоскости поляризации.

Рис. 7-13. Распределение амплитуды тока на полуплоскости, возбуждаемой удаленной нитью магнитного тока. 1 — ток на освещенной стороне; 2 — ток на теневой стороне.

На рис. (7-13) представлен график распределения амплитуд токов на полуплоскости [Л. 5]. Ток на освещенной стороне полуплоскости осциллирует по величине, но при удалении от края осцилляции быстро затухает и ток практически не отличается от удвоенного значения падающей волны. Заметим, что кромочный эффект при перпендикулярной поляризации падающей волны не проявляется.

В заключение укажем, что в формулах (7-75), (7-76) и (7-90), (7-91) можно перейти от интегралов вероятности к разложению в ряд по функциям Бесселя полуцелого порядка. Для этого достаточно воспользоваться соотношениями [Л. 3]:

Таким образом, с помощью формул (7-92) можно убедиться в том, что решение для полуплоскости, найденное методом Винера — Хопфа, совпадает с общим решением задачи о возбуждении идеально проводящего клина, полученным в § 7-1 методом собственных функций.

Литература к гл. 7

(см. скан)