1-6. УРАВНЕНИЯ СТАТИЧЕСКИХ И СТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

В данной книге рассматриваются быстропеременные электромагнитные поля, описываемые приведенными выше уравнениями. Однако полезно остановиться на частных случаях уравнений Максвелла, соответствующих статическим и стационарным полям.

А. Электростатика. Электростатическое поле является полем неподвижных электрических зарядов. Уравнения этого поля получаются из уравнений Максвелла, если все производные по времени положить равными нулю, а также учесть, что токи и магнитное поле всюду равны нулю. Таким образом, вместо четырех уравнений Максвелла (1-1) и (1-3) мы будем иметь для электростатического поля только два уравнения:

Для однородного диэлектрика уравнение (1-37) запишется так:

Граничные условия электростатики имеют вид:

Если одна из сред, скажем среда, обозначенная индексом 2, является проводником, граничные условия (1-39) принимают иную форму:

Чтобы ввести потенциал электростатического поля, укажем, что поскольку имеет место тождество из уравнения (1-36) следует, что

Это означает, что электрическое поле полностью определяется скалярным потенциалом и носит потенциальный, безвихревой характер Так как есть оператор Лапласа, то путем подстановки (1-40) в (1-38) можно получить для скалярного потенциала уравнение Пуассона

В точках, где нет зарядов, уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа

Из второго уравнения Максвелла в интегральной форме (1-8) следует, что криволинейный интеграл от напряженности электростатического поля по замкнутому пути всегда равен нулю:

Если же интеграл берется вдоль незамкнутого пути, то он равен разности потенциалов между начальной и конечной точками и не зависит от выбора пути интегрирования:

Эта разность потенциалов называется напряжением -Энергия электростатического поля, запасенная в объеме V, равна:

Б. Магнитостатика. Уравнения магнитостатического поля, создаваемого неподвижными магнитными зарядами, могут быть получены из уравнений Максвелла, если приравнять нулю производные по времени, токи и электрическое поле. Следовательно, уравнения магнитостатики будут иметь вид:

Граничные условия магнитостатики могут быть записаны следующим образом:

Магнистостатическое поле определяется скалярным магнитным потенциалом:

и имеет потенциальный, безвихревой характер Для нахождения потенциала в точках расположения магнитных зарядов следует составить уравнение Пуассона

а для точек, в которых зарядов нет, — уравнение Лапласа

Из уравнений (1-8) можно получить выражения для криволинейных интегралов от напряженности магнитного поля:

Энергия магнитостатического поля, запасенная в объеме V, равна:

Отметим, что уравнения магнитостатики носят формальный характер, ибо в природе магнитных зарядов не существует.

В. Стационарное электромагнитное поле. Уравнения стационарного поля, создаваемого постоянными электрическими и магнитными токами, получаются из уравнений (1-1) и (1-2), если положить производные по времени равными нулю:

К этим уравнениям необходимо добавить уравнения, связывающие токи с проводимостью среды:

Из выражений (1-4а) и (1-54) следуют равенства:

Причем для тех точек пространства, где отсутствуют сторонние напряженности электрического поля Ест и магнитного поля последние выражения сводятся к следующим:

Отметим прежде всего, что электрические и магнитные стационарные токи создают поля, не зависящие друг от друга. Укажем далее, что из уравнений (1-54) следует, что распределение токов в стационарном поле является соленоидальным, т. е. линии тока либо замыкаются сами на себя, либо начинаются и кончаются в бесконечности.

Граничные условия для нормальных составляющих в стационарном электромагнитном поле имеют вид:

Тангенциальные составляющие на границах раздела по-прежнему остаются непрерывными:

Здесь предполагается, что обе среды имеют конечную проводимость.

Полагая в уравнениях (1-29), (1-30) и (1-34) , запишем выражения для поля электрических токов:

Точно так же для поля магнитных токов

Выражения (1-58) — (1-61) можно также непосредственно получить из уравнений (1-53) — (1-57).

Мы видим, что электрическое поле постоянных электрических токов и магнитное поле постоянных магнитных токов являются потенциальными полями, чего нельзя сказать о рассматриваемых далее полях квазистационарных токов.

Записанные здесь исходные уравнения позволяют вывести все основные соотношения, используемые в теории цепей постоянного тока. Для детального ознакомления с этими вопросами следует обратиться, например, к монографии [Л. 2].

Остановимся кратко на описании медленно меняющихся во времени полей, называемых квазистационарными полями. Поля можно считать квазистационарными, если в уравнениях Максвелла плотность тока смещения является исчезающе малой по сравнению с плотностью тока проводимости. Это приводит к тому, что при определении поля электрических токов пренебрегают электрическим током смещения, а при определении поля магнитных токов — магнитным током смещения. Тогда поля электрических токов определяются из выражений:

а поля магнитных токов — из выражений:

Векторные и скалярные потенциалы определяются уравнениями (1-59) и (1-61). При этом оказывается, что скорость распространения электромагнитной энергии бесконечно велика и запаздывание поля в различных точках системы отсутствует. Переменные квазистационарные токи проводимости подобно постоянным токам являются замкнутыми и имеют одинаковую силу во всех сечениях неразветвленных участков цепи.

Реальные электромагнитные системы могут анализироваться с помощью уравнений квазистационарного поля при очень низких рабочих частотах и малой по сравнению с длиной волны протяженностью, когда можно считать, что электромагнитное возмущение распространяется мгновенно между двумя наиболее удаленными точками системы. Так,

переменные токи промышленных (50—60 гц) и звуковых (16— 20000 гц) частот в подавляющем большинстве технических устройств с достаточной точностью удовлетворяют условиям квазистационарности. В радиотехнике уравнения квазистационарного поля могут применяться лишь в некоторых частных случаях, да и то с известными ограничениями, вытекающими из высказанных выше соображений.