3. Определение собственных значений как функций А

На рис. 10 и И приведены зависимости собственных значений от А для различных значений и т. Можно отметить, что кривые, принадлежащие фиксированному значению и различным объединяются в группу, чего нельзя сказать о функциях с одинаковыми но различными

Поскольку должна быть заполнена целая область то удобной представляется следующая процедура вычислений: находят пары значений которые удовлетворяют уравнению и затем по каждой такой паре вычисляют

Самую простую пару можно получить, взяв в качестве корни уравнений или Для данной величины точки, принадлежащие тому же значению находят путем выбора таких корней которые разделены другими корнями.

Специальное рассмотрение требуется в случае При этом справедливы оба уравнения (9), если поскольку иначе получалась бы многозначная волновая функция (из-за угловой зависимости). Однако если то первое из граничных условий (9) заменяется более слабым условием, а именно, чтобы оставалось конечным. Отсюда следует, что — это просто функция Бесселя во всех случаях: при всех значениях для Таким образом, в любом случае получаем для выбрав равным другому корню уравнения а затем применив формулы (14).

Следующая точка на кривой с данным пол учается, и в качестве взять наименьший корень уравнения Эта точка лежит, вообще говоря, где-то между и Если возрастают (тип фиксированы), то А стремится к нулю; это следует из выражения (14), поскольку стремится в пределе к конечной величине. Для каждой кривой было получено много дополнительных точек, лежащих между и первой точкой, полученной таким образом. Эти корни уравнения были получены при фиксированном тогда близок к значению для и оно находится путем подбора и интерполяции, поскольку этих условиях значительно более чувствительная функция, чем

Некоторые значения соответствующих корней уравдения (11), которые мы не нашли в литературе приведены в табл. 20, в которой указаны также отношения

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

4. Одномерная модель

Одномерная модель получается в том случае, если считать тор очень узким (т. е. ) и затем рассматривать его с условиям» периодичности как бесконечно тонкий канал. Следовательно, уравнение Шрёдингера примет вид

с теми же самыми граничными условиями. Решение запишем следующим образом:

где — решение уравнения

в котором

Следовательно,

В частном случае при выражение (16) необходимо заменить следующим:

Собственные значения энергии даются формулой

исключение составляет частный случай (16а). Можно ожидать, что точные решения в случае аппроксимируются решениями (16) и (17).

5. Сравнение энергий

Для сравнения на рис. 12 представлены зависимости от :

Оказывается, что эти две величины не приближаются друг к другу при наоборот, при все отличаются от

соответствующих на постоянную величину Однако обнаружено, что приближается к при близко к для значений вплоть до 1 и больших, в особенности при небольших т.

Причина такого поведения при становится ясной, если подставить в формулу (14) асимптотические выражения для корней уравнения После некоторых алгебраических преобразований для к и получим асимптотические формулы

если является корнем уравнения Комбинация этих формул приводит к следующему выражению для

6. Сравнение волновых функций

Для сравнения волновых функций был вычислен средний квадрат разности между точной радиальной частью волновой функции и соответствующей «одномерной радиальной частью»

(см. скан)

Рис. 12. Разности между величинами энергий, полученными в одномерной модели и трехмерной модели, как функции относительной ширины тора. Линии с точками - точные решении; линии без точек одномерное приближение.

вместо выражения (16) следует использовать формулу (16а).] Графики таких отклонений в зависимости от представлены на рис. 13 для практически важного случая радиальных узлов). Оценку всех интегралов типа (20) проводили численно по формуле Гаусса.

Для т. е. при следует ожидать лишь небольших отклонений ввиду того, что асимптотически функция Бесселя подобна тригонометрической функции.

Рис. 13. (см. скан) Среднее отличие волновых функций, полученных в одномерной модели и трехмерпой модели, как функция относительной ширины тора.

Дополнительный минимум появляется по следующей причине. Тригонометрическая функция симметрична на отрезке между тогда как — несимметрична; это является основной причиной существования среднего отклонения. Имеются две причины, вызывающие асимметрию. Одна причина — затухание при больших значениях аргумента; отсюда следует тенденция к сдвигу центра кривой

к внутренней поверхности при малых (но не слишком) Другая причина заключается в том, что для имеет горизонтальную касательную при эта причина вызывает сдвиг центра кривой к наружной поверхности при Для промежуточных значений имеется переходная область, где эти две противоположные тенденции гасят друг друга.

Поскольку имеет конечную производную при то отклонение относительно мало при и промежуточного минимума нет. Для имеется отклонение от функции (16а).

7. Заключение

Вследствие различных интерферирующих эффектов оказывается, что разности между значениями энергии и волновыми функциями трехмерных решений и соответствующими величинами одномерной модели несомненно меньше, чем этого можно было ожидать из общих соображений, основанных на асимптотическом поведении. Одномерное приближение дает в высокой степени близкие к истинному решения даже для тора, ширина которого равна радиусу или несколько больше его радиуса.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)