2.4. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Система дифференциальных уравнений (2.7), которая может быть приведена к уравнению (2.8) для регулируемой величины или к уравнению для рассогласования, является исчерпывающим математическим описанием САР. Необходимо только иметь в виду некоторую неизбежную приближенность этого описания, которая возникает из-за идеализации процессов в элементах при составлении их уравнений, а также из-за линеаризации уравнений.

Наглядное представление о динамических свойствах САР даст решение у уравнения (2.8) или решение х уравнения для рассогласования, так как они покажут изменение этих величин во времени. Однако получить это решение практически не удается, ибо функция известна лишь в системах стабилизации и программного регулирования, а функция за очень редкими исключениями, неизвестна.

Несмотря на это, решения дифференциальных уравнений САР (и отдельных элементов) широко используются как при анализе свойств систем, так и для целей синтеза — выбора структуры и параметров систем. Речь идет о решениях дифференциальных уравнений при некоторых стандартных (типовых) воздействиях. Такие решения и их графики называют временными характеристиками соответственно элементов и систем. Рассмотрим основные, наиболее употребительные временные характеристики.

Весьма часто имеет место резкое (в пределе мгновенное) изменение внешнего воздействия на САР, например включение или выключение потребителей электрической энергии, увеличение или уменьшение момента сопротивления на валу регулируемого двигателя и т. п. Всегда важно оценить поведение САР в таких критических ситуациях, т. е. выяснить, насколько значительным будет отклонение от нормального режима и насколько быстро и точно оно будет устранено регулятором.

Для того чтобы сравнивать поведение при этом различных систем и элементов, следует рассматривать строго определенное, нормированное изменение воздействий. Таким типовым изменением воздействия считают мгновенное его изменение от нуля до

Рис. 2.5. График единичкой ступенчатой функции

значения, равного единице. Для математической записи используют единичную ступенчатую функцию

Эта функция относится к классу обобщенных функций, и график ее показан на рис. 2.5.

Реакцию элемента или системы при нулевых начальных условиях на входную величину, являющуюся единичной ступенчатой функцией времени, называют переходной характеристикой (переходной функцией) элемента или системы.

Изображение по Лапласу единичной ступенчатой функции равно (см. поз. 1 табл. П1.2), поэтому изображение переходной характеристики

где — передаточная функция элемента или системы.

Если на элемент или систему действует несколько входных величин (имеется несколько входов), то определяется переходная характеристика для каждой входной величины (относительно каждого входа).

Переходные характеристики находят на основании равенства (2.20) операционным методом и графоаналитически (см. гл. 4), а также экспериментально. Они имеют разнообразную форму: стремятся различным образом к некоторому пределу (в частности, к нулю), колеблются с постоянной амплитудой около некоторого предела, неограниченно нарастают и т. п. Переходные характеристики простейших (типовых) динамических звеньев будут рассмотрены в

Если известна переходная характеристика А, а входное воздействие ступенчатое и равно где то выходной величиной будет

Используя переходную характеристику, можно приближенно определить реакцию на входное воздействие, заданное произвольной кривой. Достаточно аппроксимировать площадь, ограниченную этой кривой, суммой сдвинутых во времени ступенчатых воздействий и просуммировать реакции на эти воздействия.

Пример 2.4. Определить реакцию системы на входное воздействие которое определяется кривой, изображенной на рис. 2.6, а.

Рис. 2.6. Аппроксимация функции суммой ступенчатых функций

Площадь, ограниченную кривой, аппроксимируем пятью ступенчатыми воздействиями (рис. 2.6, б). Тогда выходная величина приближенно определяется выражением

где — переходная характеристика системы.

Если внешнее воздействие есть известная функция времени g, то реакцию системы можно найти с помощью интеграла Дюамеля:

Пример 2.5. Определить реакцию системы на входное воздействие если переходная характеристика системы

Вычисляем

Другими часто встречающимися изменениями внешних воздействий являются их кратковременные, но существенные по значению всплески, импульсы. Например, порывы ветра, действующие на летательный аппарат, ударная нагрузка на двигатель и т.

Нормированным импульсным воздействием считается единичный импульс, т. е. импульс, у которого произведение длительности на величину равно единице. На рис. 2.7 изображены графики единичных импульсов

где достаточно мало.

Рис. 2.7. Графики единичных импульсов

Пределом, к которому стремится единичный импульс, когда его продолжительность стремится к нулю, есть единичная импульсная функция

Единичная импульсная функция относится к классу обобщенных функций и представляет собой производную от единичной ступенчатой функции:

Реакцию элемента или системы на единичную импульсную функцию называют импульсной характеристикой (функцией веса). На основании равенств (2.20) и (2.23) легко заключить, что изображение импульсной характеристики элемента или системы равно передаточной функции, а импульсная характеристика равна производной от переходной характеристики:

Импульсные характеристики типовых динамических звеньев приведены в п. 2.6.

При оценке динамических свойств элементов и систем, а также при синтезе систем наиболее широко используют переходную и импульсную характеристику. Далее предпочтение будет отдано переходной характеристике. Иногда оказываются необходимыми характеристики, показывающие реакцию элементов и систем на некоторые другие воздействия, например на воздействия, изменяющиеся с постоянной скоростью или с постоянным ускорением.

Переходные характеристики дают предпочтение о поведении элементов и систем в переходных режимах. Информацию об установившемся режиме можно получить лишь в том случае, когда переходная характеристика асимптотически приближается к некоторому пределу. Если же она неограниченно нарастает, то из этого следует, что процесс в системе или элементе выйдет из зоны линейности.