6.5. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА

Частотный критерий Найквиста дает возможность определить устойчивость замкнутой САР по амплитудно-фазовой частотной характеристике ее разомкнутой цепи. Критерий применим к системам, у которых степень числителя передаточной функции разомкнутой цепи не выше степени ее знаменателя. При правильном математическом описании реальных САР это условие выполняется.

Предварительно должна быть определена устойчивость исследуемой системы в разомкнутом состоянии. Для неустойчивой разомкнутой системы нужно выяснить, какое число корней ее характеристического полинома имеет положительные вещественные части.

В одноконтурной системе, составленной из последовательно соединенных звеньев, корни характеристических полиномов этих звеньев являются одновременно корнями характеристического полинома разомкнутой системы. Если какое-либо звено в прямой цепи системы охвачено обратной связью, то нужно определить корни характеристического полинома замкнутого контура. Эти корни войдут в число корней характеристического полинома разомкнутой системы.

При наличии перекрестных обратных связей и параллельных соединений передаточную функцию разомкнутой системы можно определить методами, изложенными в гл. 3. Для исследования ее устойчивости удобно пользоваться критериями Рауса или Михайлова. Они позволяют определить число корней с положительными вещественными частями, если разомкнутая система окажется неустойчивой.

Рис. 6.5. Амплитудно-фазовые частотные характеристики устойчивых разомкнутых систем

АФЧХ устойчивой или нейтральной разомкнутой системы можно определить экспериментально, что позволит избежать составления уравнений сложных объектов регулирования и исполнительных элементов, а точность результатов получается более высокой. Поэтому указанная возможность используется в инженерной практике достаточно широко.

Различают три случая применения критерия Найквиста.

1. Разомкнутая система устойчивая. В этом случае для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении со от 0 до не охватывала точку с координатами

На рис. 6.5 изображены основные из возможных ситуаций. При АФЧХ, показанной кривой 1, замкнутая система абсолютно устойчива — она остается устойчивой и при уменьшении передаточного коэффициента разомкнутой цепи. Если АФЧХ представляет собой кривую 2, то замкнутая система условно устойчива — она остается устойчивой только при значении лежащем в некоторых пределах. Кривая 3 проходит через критическую точку с координатами Это означает, что замкнутая система находится на колебательной границе устойчивости. Кривая 4 охватывает критическую точку, поэтому замкнутая система неустойчива.

Пример 6.5. Исследовать на устойчивость одноконтурную САР с единичной обратной связью. Передаточная функция прямой цепи регулятора

где

Частотные характеристики регулируемого объекта получены экспериментально:

Составим формулы для определения амплитуды и фазы прямой цен и регулятора:

a также для определения амплитуды А и фазы разомкнутой системы:

Для построения АФЧХ целесообразно вычислить значения ее вещественной и мнимой частей:

В результате расчета пол учено:

Частотные характеристики объекта сняты экспериментально, и, следовательно, он устойчив. Корни характеристического полинома прямой цепи регулятора отрицательные: —10 и -20. Разомкнутая система устойчива и ее АФЧХ (рис. 6.6) не охватывает критической точки с координатами Поэтому можно заключить, что в замкнутом состоянии рассматриваемая система будет устойчивой.

2. Разомкнутая система на границе устойчивости. Характеристический полином такой системы имеет нулевые или чисто мнимые корни, а у остальных корней отрицательные вещественные части.

Если нулевых корней то АФЧХ при дугой бесконечно большого радиуса перемещается от положительной вещественной полуоси на угол по часовой стрелке (рис. 6.7).

Если есть пара чисто мнимых корней (в знаменателе частотной передаточной функции имеется множитель то АФЧХ при частоте дугой бесконечно большого радиуса перемещается на угол 180° по часовой стрелке (рис. 6.8).

В обоих случаях для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении от 0 до дополненная на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывала точку с координатами

Рис. 6.6. Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой САР

Рис. 6.7. Амплитудно-фазовые частотные характеристики разомкнутой цепи систем, находящихся на границе устойчивости: а - замкнутая система устойчивая ); б - замкнутая система на границе устойчивости

По АФЧХ, изображенным на рис. 6.7 и 6.8 показаны три случая: замкнутая система соответственно устойчивая, на границе устойчивости и неустойчивая.

Пример 6.6. Исследовать на устойчивость САР, разомкнутая цепь которой описывается передаточной функцией

где

Рис. 6.8. Амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой цепи системы, находящейся на колебательной границе устойчивости

Рис. 6.9. Исследование устойчивости системы, рассматриваемой в примере 6.6,

Прежде всего можно заключить, что характеристический полином имеет чисто мнимые корни, т. е. разомкнутая система на границе устойчивости.

Затем определим частотную передаточную функцию разомкнутой системы:

где

По полученным выражениям вычислим и V:

АФЧХ разомкнутой системы построена на рис. 6.9. При она имеет разрыв. Если эту кривую дополнить дугой бесконечно большого радиуса, то критическая точка будет находиться вне получившегося контура. Следовательно, замкнутая система будет устойчивой.

3. Разомкнутая система неустойчивая. Характеристический полином такой системы имеет I корней с положительной вещественной частью.

В этом наиболее общем случае критерий формулируется так: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы при изменении от 0 до разомкнутой системы охватывала точку с координатами раз в положительном направлении (против часовой стрелки).

Характеристический полином разомкнутой системы, кроме корней с вещественной частью (положительной или отрицательной), может иметь нулевые и чисто мнимые корни. Тогда на участках разрыва АФЧХ должна быть дополнена дугой бесконечно большого радиуса.

Пример 6.7. Выяснить устойчивость системы, если передаточная функция ее разомкнутого контура

где с.

В данном случае характеристический полином разомкнутой системы имеет один положительный вещественный корень

Рис. 6.10. Исследование устойчивости системы, рассматриваемой в примере 6.7

Рис. 6.11. Оценка перехода АФЧХ через отрезок вещественной оси от —1 до

Для исследования устойчивости составим частотную передаточную функцию разомкнутой системы

где

По выражениям для и V заключаем:

Полученные данные определяют приблизительно форму АФЧХ разомкнутой системы (рис. 6.10). Она охватывает точку с координатами раза. Следовательно, замкнутая система будет устойчивой.

При сложной форме АФЧХ разомкнутой системы удобнее применять другую формулировку критерия Найквиста, которая использует правило переходов. Переход АФЧХ при увеличении со через отрезок вещественной оси от —1 до сверху вниз считают положительным и снизу вверх — отрицательным (рис. 6.11). АФЧХ может начинаться на указанном отрезке при или заканчиваться при Тогда считается, что она совершает полперехода.

Критерий формулируют так: замкнутая система устойчива, если разность между числом положительных и отрицательных переходов АФЧХ разомкнутой системы через отрезок вещественной оси от —1 до равна Здесь I — число корней характеристического полинома разомкнутой системы с положительной вещественной частью.

Пример 6.8. Выяснить устойчивость которой передаточная функция разомкнутого контура

Рис. 6.12, Исследование устойчивости САР, рассматриваемой в примере 6.8.

Рис. 6.13. Исследование устойчивости САР, рассматриваемой в примере 6.9

Характеристический полипом разомкнутой системы имеет один нулевой корень и один положительный вещественный корень

Составим частотную передаточную функцию разомкнутой системы:

где

По этим выражениям определяем:

Теперь определен характер АФЧХ разомкнутой системы (рис. 6.12), При имеет разрыв, и поэтому ее нужно дополнить дугой бесконечно большого радиуса от отрицательной вещественной полуоси.

На участке от —1 до имеется один положительный переход и полтора отрицательных. Разность между положительными и отрицательными переходами равна —1/2. Для устойчивости замкнутой системы необходимо, чтобы эта разность равнялась так как характеристический полином разомкнутой системы имеет один положительный корень. Следовательно, рассматриваемая система в замкнутом состоянии будет неустойчивой.

Применяя критерий Найквиста в передаточной функции разомкнутой системы, члены знаменателя, кроме старшего, можно переносить в числитель Тогда построение АФЧХ системы высокого порядка упрощается. Однако при исследовании таких систем целесообразнее строить обратную АФЧХ, т. е. годограф вектора

В этом случае критерий Найквиста формулируется так: замкнутая система устойчива, если разность между отрицательными

и положительными переходами обратной АФЧХ отрезка действительной оси от 0 до —1 равна , где I — число корней с положительной вещественной частью характеристического уравнения разомкнутой системы. Знаки переходов нужно принимать обратными по сравнению с указанными на рис. 6.11.

Пример 6.9. Определить устойчивость САР, если передаточная функция ее разомкнутой цепи

По этому выражению заключаем, что имеет один положительный вещественный полюс и что для применения критерия Найквиста удобнее построить обратную АФЧХ.

В данном случае

где

По полученным выражениям определяем:

Характер обратной АФЧХ показан на рис. 6.13. На участке вещественной оси от —1 до 0 имеются положительный полупереход и отрицательный переход. Следовательно, разность между отрицательными и положительными переходами составляет и система в замкнутом состоянии будет устойчива.