Приложение 2. РАЗЛОЖЕНИЕ ПОЛИНОМОВ С ВЕЩЕСТВЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ НА МНОЖИТЕЛИ

При анализе и синтезе автоматических систем в ряде случаев возникает необходимость в разложении полиномов от на множители, т. е. в вычислении корней этих полиномов. Корни полиномов третьей и четвертой степеней можно вычислить по точным формулам [531, однако расчет достаточно сложен. Корни полиномов более высоких степеней можно вычислить только приближенно. Для этого используют ряд методов, которые изложены, например, в работах [35, 55]. Существуют также методы, предложенные специально для расчета автоматических систем [50, 70]. Все эти методы обеспечивают точность, вполне достаточную для инженерных расчетов, и позволяют вести вычисления на цифровой ЭВМ. При ручном счете следует пользоваться микрокалькулятором, например «Электроника БЗ-18.

Графоаналитический метод [50] предполагает весьма простые вычисления, но результаты могут иметь существенные погрешности, поэтому он может быть использован лишь для ориентировочных оценок значения корней.

На основании весьма простого метода Лина [50] можно составить итерационные формулы, которые и приводятся ниже для полиномов третьей, четвертой, пятой и шестой степеней. Для каждого из этих полиномов дается два варианта решения.

По первому варианту из полинома выделяют двучлен вида

Если процесс вычисления сходится медленно, то его можно форсировать. Для этого после какого-то шага вычислений следует принять за с, тот предел, к которому стремятся значения

По второму варианту из полинома выделяют трехчлен вида

Такой трехчлен можно разложить на двучлены или преобразовать:

при

где

при

где

Разложение полинома можно начинать по любому из двух вариантов, так как расположение его корней заранее неизвестно. Если процесс вычисления оказывается расходящимся, то необходимо перейти к другому варианту.

Вычисление следует закончить, если после какого то шага значения коэффициентов разложения отличаются от предыдущих с допустимой погрешностью.

Полином третьей степени

Вариант 1. Итерационные формулы:

Разложение полинома:

Вариант 2. Итерационные формулы:

Разложение полинома:

Пример П2.1. Вычислить с точностью до 0,005 коэффициенты элементарных сомножителей полинома

Воспользуемся вариантом 1, т. е. итерационными формулами (П2.3). Расчет сведем в таблицу:

Процесс вычисления расходится, следовательно, необходимо пользоваться вариантом 2, т. е. итерационными формулами (П2.5):

Вычисление коэффициентов с требуемой точностью закончено. Следовательно, по формуле

Полином четвертой степени

Вариант 1. Итерационные формулы:

Разложение полинома:

Вариант 2. Итерационные формулы:

Разложение полинома:

Полином пятой степени

Вариант 1. Итерационные формулы:

Разложение полинома:

Вариант 2. Итерационные формулы:

Разложение полинома:

Полином шестой степени

Вариант 1. Итерационные формулы:

Разложение полинома:

Вариант 2. Итерационные формулы:

Разложение полинома:

Пример П2.2. Разложить на элементарные множители полином

Вычисления вести с точностью до 0,0005.

Воспользуемся вариантом 1, т. е. итерационными формулами (П2.15). Расчет сведем в таблицу.

Процесс вычислений сходится медленно, поэтому для его форсирования примем

Вычисление коэффициентов можно считать законченным. По формуле

Далее нужно выделить элементарный множитель из полинома пятой степени» затем из полинома четвертой степени, и, наконец, из полинома третьей степени.

Предложенные итерационные формулы не применимы к полиномам, у которых . В этих случаях используют следующие возможности.

Если полином третьей степени, то

где

Для разложения полиномов других степеней необходимо сделать подстановку

где (например,

Затем в полученных сомножителях следует вернуться к прежней переменной (сделать подстановку