7.9. ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ

При эксплуатации САР значения ее элементов и прежде всего объекта регулирования вследствие различных причин могут отличаться от расчетных. При этом действительные статические и динамические свойства также, конечно, оказываются отличными от расчетных. Поэтому возникает задача уже при синтезе САР выяснить, какие изменения свойств возможны при эксплуатации.

(кликните для просмотра скана)

331

(см. скан)

Зависимость свойств САР от изменения параметров элементов есть ее чувствительность. Для ее количественной оценки используют различные функции чувствительности [10, 66, 103, 1161, которые позволяют оценивать вариации (изменения) передаточных функций, временных характеристик или показателей качества при вариациях (малых изменениях) параметров. Будем предполагать, что вариации достаточно малы и, кроме того, не изменяют степени уравнений (порядка передаточных функций) как отдельных элементов, так и системы в целом.

Функции чувствительности передаточных функций. Функция чувствительности передаточной функции к параметру есть частная производная от по при номинальных (расчетных) значениях всех параметров:

где

Для определения функции чувствительности передаточной функции системы к параметру какого-то элемента удобно сначала отыскать функцию чувствительности передаточной функции к передаточной функции этого элемента:

где

Продолжение табл. 7.7 (см. скан)

Затем определяется функция чувствительности передаточной функции к параметру

В табл. 7.7 приведены значения функций чувствительности передаточных функций САР трех наиболее характерных структур. Здесь и есть функции чувствительности передаточных функций соответственно к передаточной функции участка САР. Значения передаточных функций должны быть взяты при номинальных (расчетных) значениях параметров.

Функции чувствительности временных характеристик. Они позволяют определить дополнительное движение, т. е. наиболее наглядно выяснить влияние вариаций параметров. Дополнительным движением называют разность между движением системы, в которой произошли вариации параметров, и ее движением при расчетных значениях параметров.

Функция чувствительности координаты САР к параметру

где

Предположим, что у — регулируемая координата: системе приложено только задающее воздействие. Тогда

где — изображение по Лапласу задающего воздействия.

Следовательно:

Теперь можно определить дополнительное движение регулируемой координаты при вариации параметра

Аналогично можно выяснить, как влияет вариация параметров на движение регулируемой координаты, создаваемое возмущением. Также можно отыскать дополнительное движение рассогласования х. Если предположить, что задающее воздействие есть единичное ступенчатое воздействие, то формула (7.90) будет определять вариацию переходной характеристики системы относительно задающего воздействия при вариации параметра

Пример 7.10. Выяснить влияние вариаций на переходную характеристику САР, если с и передаточная функция разомкнутой системы в первом приближении

где .

Определим передаточную функцию замкнутой системы:

Функция чувствительности этой передаточной функции к постоянной времени будет

Следовательно, вариация переходной характеристики (дополнительное движение)

По этому равенству вычислим:

Дополнительное движение при вариации нескольких параметров линейной системы определяется на основании принципа суперпозиции:

Функции чувствительности показателей (критериев) качества.

Так, если какой-то показатель качества У может быть выражен в виде функции параметров: то функция его чувствительности к параметру

и весьма наглядно показывает влияние этого параметра на свойства

Вариация этого показателя при вариации одного параметра

и при вариации нескольких параметров

К таким показателям качества относятся прежде всего интегральные оценки, показатель колебательности, запас устойчивости, коэффициент статизма. Сложнее определить функции чувствительности показателей качества переходной характеристики: перерегулирования и времени регулирования.

Рис. 7.22, Приведенная структурная схема

Логарифмические функции чувствительности . При исследовании САР принято рассматривать логарифмические функции чувствительности передаточных функций:

Иногда [116] их называют просто чувствительностью. Формула (7.95) показывает связь чувствительности передаточной функции с ее функцией чувствительности к передаточной функции элемента, параметр которого изменяется. Если элемент не находится в цепи обратной связи (местной или основной), то структурную схему САР можно привести к виду, показанному на рис. 7.22. По этой структурной схеме передаточная функция системы

Следовательно, функция чувствительности передаточной функции к передаточной функции

Подставив в формулу (7.95) значение по (7,97) и затем значение из (7.96), получим, что чувствительность передаточной функции к передаточной функции в рассматриваемой системе

Эта формула рекомендована [116] для исследования чувствительности различных САР. В табл. 7.7 приведены значения чувствительностей передаточных функций передаточным функциям участков CAP трех характерных структур.

Чем меньше чувствительность передаточной функции системы к передаточным функциям ее участков, тем совершеннее, вообще говоря, система, меньше влияние вариаций параметров на ее свойства. Желательно, следовательно, иметь нулевую чувствительность. Формулы (7.98) и (7.96) указывают пути приближения к нулевой чувствительности: нужно увеличивать передаточный коэффициент контура или уменьшать передаточный коэффициент цепи