9.2. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ПО МИНИМУМУ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ

Выбор параметров САР при заданной структуре довольно часто выполняют с помощью интегральных оценок. Постановка задачи в этом случае сводится к следующему. Структура системы и, следовательно, ее передаточные функции известны. Некоторые параметры системы можно изменять, остальные заданы. Необходимо отыскать такие значения изменяемых параметров, при которых интегральная оценка становится минимальной. Используют чаще всего квадратичную или улучшенную квадратичную интегральную оценку. Рассмотрим интегральную оценку переходной характеристики относительно задающего воздействия в следящих системах и относительно возмущения в системах стабилизации.

Предположим сначала, что может изменяться только один параметр а. Тогда расчет будет содержать следующие этапы.

1. Выбирают вид интегральной оценки. Минимизация квадратичной интегральной оценки приближает переходную характеристику к ступенчатой, но возможно значительное перерегулирование. Однако если отличны от нуля коэффициенты в числителе изображения переходной характеристики, то существенное перерегулирование мало вероятно. Поэтому оценку широко используют.

При минимизации улучшенной квадратичной интегральной оценки переходная характеристика приближается к экспоненте (7.40), и чем больше 71, тем меньше возможное перерегулирование. Улучшенные квадратичные оценки более сложного вида [102] используют, когда требования к форме переходной характеристики должны быть выдержаны особенно точно.

2. Составляют выражение для выбранной интегральной оценки. Необходимые для этого сведения содержатся в п. 7.6.

3. В выражение для интегральной оценки подставляют числовые значения известных параметров.

После этого интегральная оценка становится функцией лишь одного параметра а.

4. Определяют значение а, при котором интегральная оценка имеет минимум, из уравнения

Затем необходимо проверить, что равенство (9.14) действительно есть условие минимума функции . Это имеет место, если при найденном значении а выполняется неравенство

Иногда для указанной проверки удобнее вычислить при найденном значении а, а также, при двух соседних значениях

большем и меньшем. Последние два значения должны быть больше первого.

Может оказаться, что функция не имеет минимума по а вообще или внутри области допустимых значений а. Тогда нужно определить при граничных значениях (максимальном и минимальном) и выбрать то из них, которое соответствует меньшему значению

5. Проверяют устойчивость системы и определяют показатели качества переходной характеристики при найденном значении а.

При неудовлетворительных показателях качества необходимо искать другое значение а. Вместо квадратичной оценки следует использовать улучшенную квадратичную оценку Если применялась оценка то нужно изменить значение Т. Вероятнее всего, его следует увеличить для уменьшения перерегулирования и уменьшить для уменьшения времени регулирования. К цели также приведет более сложная интегральная оценка.

При выборе нескольких параметров по минимуму интегральной оценки порядок расчета остается тем же. После определения интегральной оценки как функции искомых параметров вычисляют и приравнивают нулю ее частные производные по каждому из этих параметров:

Полученная система уравнений позволяет вычислить искомые значения параметров. Необходимо, конечно, проверить, действительно ли равенства (9.16) соответствуют минимуму оценки

Если порядок системы выше четвертого, то при расчете следует использовать аналоговые вычислительные машины [102].

Выбор параметров по минимуму интегральной оценки наиболее удобен, когда синтезируется система, сходная с существующей. Иногда расчет следует вести не по минимуму интегральной оценки, а по некоторому заданному значению [103]. Это ограничение может быть обусловлено, например, мощностью исполнительного органа.

Пример 9.3. Выбрать значение передаточного коэффициента разомкнутой САР, если ее передаточная функция

где

Будем искать значение по минимуму квадратичной интегральной оценки Определим сначала изображение переходной характеристики:

где

По п. 2 табл. 7.6 квадратичная интегральная оценка (при )

Для отыскания минимума по определяем производную

Приравняв нулю числитель производной получим уравнение для определения

Его решение, учитывая, что

Вторая производная от У по

следовательно, при квадратичная интегральная оценка действительно имеет минимум.

При этом значении система устойчива, однако показатели ее качества (показатели качества переходной характеристики) с нельзя считать приемлемыми. Поэтому будем искать значение по минимуму улучшенной интегральной оценки выбирая постоянную Т равной наибольшей постоянной времени системы: .

Для отыскания составим выражение

Тогда по п. 7 табл. 7.6 (при

Следовательно, улучшенная интегральная оценка

Определяем производную от по , приравнивая нулю ее числитель, составляем уравнение относительно

Решение этого уравнения:

Значения при соответственно равны 0,229; 0,225 и 0,227. Можем заключить, что при оценка действительно минимальная.

При этом значении система устойчива и показатели качества ее переходной характеристики лучше, чем при