7.4. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ

Приближенно качество переходной характеристики можно оценить по вещественной частотной характеристике, так как между этими характеристиками минимально-фазовой системы есть взаимосвязь, определяемая формулой (4.21). Наиболее употребительны те оценки, которые могут быть даны без дополнительных расчетов. Основными из них являются следующие [102].

1. Установившееся значение переходной характеристики определяется начальным значением вещественной частотной характеристики:

2. Начальное значение переходной характеристики определяется конечным значением вещественной частотной характеристики:

3. Двум вещественным частотным характеристикам, сходным по форме, но отличающимся масштабом по оси абсцисс в раз, соответствуют переходные характеристики, также сходные по форме и отличающиеся масштабом по оси абсцисс в раз. Если вещественной частотной характеристике соответствует переходная характеристика (рис. 7.5), то вещественной частотной характеристике соответствует переходная характеристика

4. Двум вещественным частотным характеристикам, сходным по форме, по отличающимся масштабом оси ординат в раз, соответствуют переходные характеристики, также сходные по форме и отличающиеся масштабом по оси ординат в раз.

5. Разрыв непрерывности вещественной частотной характеристики свидетельствует о том, что система находится на границе устойчивости. Разрыву при соответствует апериодическая граница устойчивости (наличие нулевого корня характеристического уравнения) и разрыву при — колебательная граница устойчивости (наличие пары чисто мнимых корней характеристического уравнения).

Рис. 7.6 Вещественные частотные характеристики и соответствующие им переходные характеристики

6. Острый пик вещественной частотной характеристики при угловой частоте свидетельствует о медленно затухающих колебаниях переходной характеристики с частотой, близкой к

7. Если вещественная частотная характеристика непрерывная положительная и имеет вид вогнутой кривой, т. е. ее производная и монотонно уменьшается по абсолютному значению, то переходная характеристика монотонная.

8. Если при какой-либо частоте ордината вещественной частотной характеристики больше начальной, то переходная характеристика немонотонная. Это один из признаков немонотонности.

9. При положительной невозрастающей вещественной частотной характеристике перерегулирование переходной характеристики не превышает 18%.

10. При наличии у положительной вещественной частотной характеристики максимума перерегулирование переходной характеристики оценивают неравенством

11. Если вещественная частотная характеристика имеет положительный и отрицательный экстремумы (рис. 7.6), то перерегулирование переходной характеристики оценивают неравенством 15]

12. Если вещественная частотная характеристика непрерывная невозрастающая и по форме приближается к трапецеидальной, то переходную характеристику приближенно можно

Рис. 7.6. Вещественная частотная характеристика с двумя экстремумами

Рис. 7.7. Вещественная частотная характеристика, [аппроксимируемая двумя трапециями

определить по табл. 4.4 -функций, где (см. рис. 4.1). В этом случае время регулирования находится в пределах

13. Если вещественная частотная характеристика положительная на интервале частот то во всяком случае время регулирования

14. Вещественную частотную характеристику, которая может быть аппроксимирована двумя трапециями (рис. 7.7), определяют тремя параметрами: основным коэффициентом наклона коэффициентом формы дополнительным коэффициентом наклона Такой вещественной частотной характеристике соответствует переходная характеристика,

Рис. 7.8. (см. скан) Графики зависимости времени регулирования и перерегулирования а от максимального значения вещественной частотной характеристики:

Таблица 7.4. Значения функции а

Рис. 7.9. График зависимости вспомогательной функции а

показатели качества которой могут быть приближенно определены по графикам, изображенным на рис. — максимальное значение вещественной частотной характеристики и — частота среза ЛАЧХ разомкнутой системы. Эти зависимости используют и при, синтезе корректирующих устройств (см.

Некоторые из перечисленных оценок (1 — 14) удобно применять, пренебрегая высокочастотной частью вещественной частотной характеристики или внося небольшие коррективы в ее среднечастотную часть. Погрешность, которая при этом вносится в переходную характеристику, можно приближенно определить [102].

Пусть отброшенная часть Рот вещественной частотной характеристики удовлетворяет следующим условиям:

причем функция имеет экстремумов в интервале и не возрастает по абсолютному значению при

Тогда верхний предел погрешности который вносится в переходную характеристику при определяют по формуле

где — наименьшее из целых чисел, удовлетворяющих неравенству

График функции а изображен на рис. 7.9, и ее значения приведены в табл. 7.4.

Из формулы (7.19) следует, что верхний предел погрешности уменьшается с увеличением и наибольшее значение тем меньше, чем больше и меньше

По оценке (7.17) время регулирования больше поэтому поправки целесообразно вычислять только при

Рис. 7,10, Вещественная частотная характеристика к примеру 7.4

Пример 7.4. Выяснить возможность аппроксимации вещественной частотной характеристики, изображенной на рис. 7.10, одной трапецией при оценке качества соответствующей ей переходной характеристики.

Параметры трапеции коэффициент наклона По табл. 4.4 Л-функций определяем показатели качества переходной характеристики, соответствующей этой трапеции: а с.

Теперь определил! верхний предел поправки. Отброшенная часть вещественной частотной характеристики, состоящая из участка (рис. 7.10) и ее высокочастотной части удовлетворяет условиям (7.18) при

Вычислим поправку при по графику рис. 7.9 а по табл. 7.4а

Значение слишком велико. В рассмотренном случае нельзя оценить качество переходной характеристики, аппроксимировав вещественную частотную характеристику одной трапецией. Необходима аппроксимация по меньшей мере тремя трапециями. Тогда для построения переходной характеристики может быть использован метод, изложенный в

Пример 7.5. Оценить погрешность в определении переходной характеристики, если вещественную частотную характеристику (рис. 7.11, а) считать равной характеристике

Отбрасываемая высокочастотная часть характеристики изображена на рис. По этим графикам определим:

Вычислим верхний предел погрешности при по графику рис. 7.10. а по табл. 7,4

Вычислим верхний предел погрешности при по графику рис. 7.10

Рис. 7.11. Вещественные частотные характеристики к примеру 7.5

Вычислим верхний предел погрешности при по графику рис. 7.10 а по табл. 7.4 а

Итак, при определении переходной характеристики по вещественной частотной характеристике в место погрешность на участке от до охватывающем, постепенно уменьшается от 7 до 2%.

Приближенно оценивать переходную характеристику замкнутой системы можно и по АФЧХ ее разомкнутой цепи.

Наиболее простым является признак колебательности переходной характеристики [12]. Если АФЧХ разомкнутой астатической системы пересекает прямую параллельную оси ординат (кривая 1 на рис. 7.12, а), то переходная характеристика колебательная. Если пересечения нет (кривая 2), то удовлетворяется необходимый [признак монотонности переходной характеристики.

Для того чтобы переходная характеристика статической системы была колебательной, АФЧХ разомкнутой цепи этой системы должна [пересекать окружность радиуса центр

Рис. 7.12. Определение колебательности переходной характеристики замкнутой системы по АФЧХ ее разомкнутой цепи: а — астатическая система; б — статическая система

которой расположен на оси абсцисс в точке U = а (кривая I на рис. 7.12, б):

где — передаточный коэффициент разомкнутой системы.

При отсутствии указанного пересечения (кривая 2) переходный процесс статической системы монотонный.

Оценки перерегулирования и времени регулирования переходной характеристики замкнутой системы по АФЧХ ее разомкнутой цепи приведены в работе [102, гл. XVI, п. 10 и 11]. Связь между показателями качества переходной характеристики и логарифмическими частотными характеристиками рассмотрена в п. 9.5.