7.6. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ

Отклонение х регулируемой величины от установившегося значения в переходном процессе и продолжительность этого процесса характеризуются при интегральных оценках качества одним числом. Интегральные оценки удобны для сравнения близких по структуре систем (лучшая из них имеет меньшую интегральную оценку) и для выбора параметров при синтезе систем (см. п. 9.2). Обычно используются интегральные оценки системы относительно задающего воздействия, но могут рассматриваться такие оценки и относительно возмущения. Рассмотрим наиболее употребительные оценки.

Линейная интегральная оценка. Численно она равна площади, ограниченной кривой отклонения х (рис. 7.15), и выражается через изображение по Лапласу X отклонения

Линейную интегральную оценку можно применять только при монотонном переходном процессе (рис. 7.15, а). При колебательном процессе (рис. 7.15, б) суммарная площадь, ограниченная кривой х, совершенно не оценивает качество процесса: она будет минимальной при незатухающем колебательном процессе.

Используются также линейные интегральные оценки более общего вида:

Они связаны с коэффициентами ошибки (см. п. 7.2):

и позволяют [72] определить приближенное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Рис. 7.15. Определение линейной интегральной оценки: а — переходная характеристика монотонная; — колебательная

Квадратичная интегральная оценка. Она может применяться как при монотонны, так и при колебательных переходных процессах и зависит только от значения отклонения, но не от его знака:

Пусть изображение по Лапласу рассогласования х будет

где и все корни полинома имеют отрицательные вещественные части.

Тогда квадратичная интегральная оценка определяется [451 следующей формулой:

Здесь определитель

определители , образуются из определителя заменой столбца столбцом

в - элементы с индексами меньше 0 и больше заменяются нулями.

Коэффициенты В, в формуле (7.30) имеют следующие значения:

где элементы с индексами меньше 0 и больше заменяются нулями.

Если изображение рассогласования

то квадратичная интегральная оценка

Здесь определитель А имеет прежнее значение (7.31) и определители образуются из определителя А заменой столбца столбцом (7.32).

Коэффициенты в формуле (7.35) составляют следующим образом:

где элементы с индексами меньше 0 и больше заменяются нулями.

Если известно изображение Н переходной характеристики, то, чтобы воспользоваться формулами (7.30) или (7.35), следует сначала определить изображение X отклонения:

где

Значения квадратичной интегральной оценки, соответствующей некоторым значениям Н, даны в табл. 7.6.

Весьма различные по форме переходные процессы могут иметь равные квадратичные интегральные оценки. В этом заключается недостаток таких оценок. Кроме того, если выбирать параметры системы по минимуму квадратичной интегральной оценки, то переходный процесс может оказаться сильно колебательным. Все это ограничивает использование квадратичных интегральных оценок при анализе и синтезе САР.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Улучшенная квадратичная интегральная оценка. Часто используют оценку

где Т — некоторая постоянная.

Чем меньше значения тем меньше отклонение переходной характеристики от экспоненты с постоянной времени называемой экстремалью:

Для вычисления оценки ее разделяют на два слагаемых:

Чтобы вычислить слагаемое следует определить изображение производной х отклонения х, равное и затем использовать формулу (7.30) или (7.35). Можно также воспользоваться пп. 6—10 табл. 7.6 и определить по изображению производной от переходной характеристики.

При инженерных расчетах применяют и еще более сложные интегральные оценки [102]. Например, оценку

которая показывает приближение переходной характеристики к экстремали, определяемой уравнением

где

Методика выбора параметров САР по минимуму интегральной оценки будет рассмотрена в п. 9.2.