7.8. МЕТОД КОРНЕВЫХ ГОДОГРАФОВ

Корневым годографом называют совокупность траекторий, которые описывают корни характеристического уравнения замкнутой САР на комплексной плоскости при изменении одного из параметров от 0 до Метод корневых годографов [6] графоаналитический; он отличается большой наглядностью и используется при исследовании устойчивости, оценке качества регулирования и синтезе САР.

Изменяемым (свободным) параметром может быть любой из параметров, линейно входящих в характеристическое уравнение. Чаще всего рассматривается влияние передаточного коэффициента разомкнутой системы и параметров корректирующего устройства.

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы может быть приведено к виду

предельных точек. Вблизи этой области могут быть пересечения асимптот.

5. Ветви годографа от вещественных начальных точек располагаются на вещественной оси до встречи одна с другой, с предельной точкой или уходят в бесконечность.

Ветвями годографа заняты отрезки вещественной оси, для которых выполняется условие

где — число соответственно начальных и предельных точек, расположенных справа от рассматриваемого отрезка.

В каждой точке встречи вещественных ветвей годографа возникает пара комплексно-сопряженных ветвей, выходящих на комплексную плоскость перпендикулярно к вещественной оси.

Абсциссами точек являются вещественные корни уравнения

где

Например, у корневого годографа, изображенного на рис. 7.19, а, справа от участка действительной оси, ограниченного начальной точкой и предельной точкой Следовательно, и на этом участке оси располагается действительная ветвь годографа от к Для участка действительной оси от начальной точки до Следовательно, и на этом участке также располагается действительная ветвь годографа, уходящая в бесконечность.

У годографа, изображенного на рис. 7.19, б, для участка действительной оси между начальными точками и имеем На этом участке располагаются действительные ветви годографа, идущие от Они встречаются в точке и из нее выходит пара комплексно-сопряженных ветвей. Справа от участка действительной оси между предельной точкой и начальной точкой На этом участке оси располагается действительная ветвь годографа от

6. Из каждой пары комплексно-сопряженных начальных точек выходит пара комплексно-сопряженных ветвей годографа.

Все комплексно-сопряженные ветви расположены симметрично относительно действительной оси. Они оканчиваются в комплексносопряженных предельных точках или уходят в бесконечность.

Угол выхода комплексной ветви из начальной точки и входа в предельную точку определяется равенством

где сумма фазовых углов векторов, проведенных в рассматриваемую точку из всех остальных основных (начальных и предельных) точек. Фазовым называют угол между положительной действительной полуосью и вектором.

Рис. 7.20. Определение угла: а — выхода траектории из начальной точки; б — входа траектории в предельную точку

Определение угла выхода траектории из начальной точки показано на рис. 7.20, а. В данном случае

На рис. 7.20, б показано определение угла входа траектории в предельную точку

7. Корневому годографу принадлежат те и только те точки комплексной плоскости, для которых удовлетворяется равенство (уравнение фаз):

где и — фазовые углы векторов, проведенных в рассматриваемую точку соответственно из начальных и предельных точек.

8. Значение свободного параметра Л, соответствующее какой-либо точке корневого годографа, определяется формулой параметра

где — модули векторов, проведенных в рассматриваемую точку соответственно из начальных и предельных точек.

Изложенные свойства корневого годографа позволяют построить его геометрическим методом. Вследствие симметрии годографа относительно действительной оси его ветви, расположенные в нижней полуплоскости, иногда не строят.

Возможно и аналитическое построение годографа. Если корень характеристического уравнения то основное аналитическое уравнение траектории корней

где

Уравнение (7.75) позволяет при выбранном значении с найти ординаты при которых прямая с абсциссой с пересекает траектории корней характеристического уравнения (7.67). Такой смысл имеют, конечно, лишь действительные значения положительные и отрицательные при построении всего годографа и только положительные, если годограф строится лишь в верхней полуплоскости.

Значение свободного параметра А определяют по формуле

при комплексных сопряженных корнях и по формуле

при действительном корне.

Чаще всего метод корневого годографа используют для исследования влияния на свойства САР передаточного коэффициента разомкнутой цепи, передаточная функция которой

где

Характеристическое уравнение замкнутой CAP

Если в качестве свободного параметра рассматривается то начальными точками являются полюсы и предельными точками — нули передаточной функции разомкнутой САР. В одноконтурной

системе и даже в системе с местными обратными связями их значения определить по передаточным функциям отдельных звеньев.

При построении годографа целесообразно комбинировать геометрический и аналитический методы и действовать в следующем порядке:

1) на комплексную плоскость нанести начальные и предельные точки;

2) нанести центр асимптот пользуясь формулой (7.68), и провести асимптот, углы наклона которых определяются формулой (7.69);

3) пользуясь условием (7.70), выделить отрезки действительной оси, на которых располагаются траектории корней;

4) нанести точки О, отрыва траекторий от действительной оси, пользуясь уравнением (7.71), и направления этих траекторий;

5) по уравнению (7.72) определить направления выхода траекторий из комплексных начальных точек и входа их в предельные точки, нанести эти направления на чертеж;

6) пользуясь уравнением фаз (7.73) или основным аналитическим уравнением (7.75), нанести несколько точек для уточнения положения комплексных траекторий;

7) определить значение свободного параметра в нужных точках, пользуясь уравнениями (7.74) или (7.76) и (7.77).

Корневой годограф позволяет исследовать влияние свободного параметра на динамические свойства САР: на устойчивость и качество регулирования. Система устойчива при тех значениях свободного параметра, которым соответствует расположение корневого годографа в левой полуплоскости. Переход хогя бы одной ветви годографа в правую полуплоскость свидетельствует о неустойчивости. Границу устойчивости определяют из условия попадания действительного корня в начало осей координат (апериодическая граница устойчивости) или пары комплексных корней на мнимую ось (колебательная граница устойчивости).

Основное аналитическое уравнение траектории корней (7.75) при превращается в уравнение критических частот Его действительные корни — это значения ординат, при которых комплексно-сопряженные траектории пересекают мнимую ось. Уравнение (7.76) при сокр определяет значение свободного параметра, соответствующего границе устойчивости.

Корневой годограф позволяет также определить показатели качества переходной характеристики для выбранных значений свободного параметра по аналитическому выражению этой характеристики.

Если передаточная функция разомкнутой САР определена выражением (7.78), то изображение переходной характеристики

где

Тогда по формуле (П. 1.8) разложения Хевисайда

где — корни характеристического уравнения, которые при выбранном значении свободного параметра определяют непосредственно по корневому годографу.

Сумму в равенстве (7.81) удобнее вычислять, пользуясь значениями длин и углов векторов, взятыми из чертежа корневого годографа. Если свободным параметром является то коэффициент члена этой суммы

Следовательно:

Здесь — длина и фазовый угол вектора, проведенного из начала осей координат к корню — длина и фазовый угол вектора, проведенного из корня к корню — длина и фазовый угол вектора, проведенного из предельной точки к корню

Очень важно также, что корневой годограф наглядно показывает, как изменяется взаимное расположение нулей и полюсов передаточной функции замкнутой САР при изменении свободного параметра. Следовательно, и на этом основании, пользуясь материалом п. 7.7, можно приблизительно судить о влиянии свободного параметра на показатели качества переходной характеристики.

Пример 7.9. Передаточная функция разомкнутой САР

где .

Выяснить влияние постоянной времени корректирующего устройства на динамические свойства системы.

Для решения этой задачи построим корневой годограф, считая свободным параметром постоянную времени т.

Составим характеристическое уравнение и приведем его к виду (7.67):

Рис. 7.21. Корневой годограф к примеру 7.9

После подстановки числовых значений известных параметров и деления на получим

где

Начальными точками траекторий являются корни полинома которые определяем, пользуясь прил. 2:

Предельная точка, корень полинома есть

Нанесем основные точки на чертеж (рис. 7.21), теперь можно сделать вывод, что при система неустойчива, так как в этом случае пара комплексных сопряженных корней характеристического уравнения расположена в правой полуплоскости.

По формуле (7.68) определим абсциссу центра асимптот и по формуле (7.69) их направления:

Асимптотами являются прямые, выходящие из точки и параллельные оси ординат.

Для участка действительной оси от предельной точки до начальной точки выполняется условие (7.70): т. е. с увеличением траектория из начальной точки пойдет по действительной оси в предельную точку

Комплексные сопряженные траектории из начальных точек и по мере увеличения будут приближаться к асимптотам. Чтобы выяснить расположение этих траекторий, можно воспользоваться формулой (7.75). Предварительно следует вычислить производные полиномов по

По формуле (7.75) при определим критическую частоту:

Итак, комплексно-сопряженные траектории пересекают мнимую ось при ординатах ±28,9. Значение соответствующее этим точкам, определим по формуле (7.76) при и

Следовательно, система устойчива при

Чтобы выяснить, как расположены комплексно-сопряженные траектории в левой полуплоскости, вычислим по формуле (7.75) ординаты нескольких точек, задаваясь значениями их абсцисс:

Полученные точки достаточно хорошо определяют расположение комплексных сопряженных траекторий.

Вычислим по формуле (7.76) значения для двух точек:

По формуле (7.77) вычислим значения для двух точек траектории, расположенной на действительной оси:

Таким образом, для устойчивости системы постоянная времени должна быть больше 0,0067 с. При доминирующими являются комплексные сопряженные корни характеристического уравнения и колебательность не слишком велика. Так, при и перерегулирование, вычисленное по формуле (7.52), а при Дальнейшее увеличение ведет к резкому увеличению колебательности

Выяснить влияние передаточного коэффициента разомкнутой САР на ее динамические свойства можно на основании логарифмического корневого годографа. Его построение значительно проще, так как могут быть использованы шаблоны и номограммы. Основные сведения о логарифмическом корневом годографе изложены, например, в работе [102].