9.7. СИНТЕЗ САР ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

Многие системы автоматического регулирования подвержены воздействиям, которые с течением времени принимают случайные (заранее точно не предсказуемые) значения. Случайный характер имеют обычно внешние возмущения: изменения нагрузки генератора, питающего большое количество потребителей, порывы ветра, действующие на самолет, и т. д. Некоторые элементы систем являются источниками внутренних случайных возмущений. Например, в электронном усилителе с большим коэффициентом усиления создаются шумы флуктуационного характера. Случайными в большинстве случаев являются задающие воздействия следящих

систем. Очень часто задающее воздействие кроме полезной составляющей содержит помеху (возмущение) также случайного характера.

Если синтез САР при случайных воздействиях проводить ранее рассмотренными методами, которые предполагают, что внешние воздействия детерминированы (описываются некоторыми определенными функциями времени), то будут получены лишь приближенные результаты. Более точные результаты дают специальные методы статистической динамики систем регулирования.

Наиболее полно проблемы и методы статистической динамики изложены в работах 185, 98]. Там же даны необходимые сведении из теории вероятностей, в которой рассматриваются случайные события, случайные величиныи случайные процессы и их статистические характеристики.

Ниже приведем лишь начальные сведения о синтезе линейных САР при случайных внешних воздействиях. Предварительно дадим представление о статистических характеристиках случайного процесса и о преобразовании случайного сигнала линейной системой. При этом предполагается, что случайные воздействия есть такие случайные функции времени, статистические (вероятностные) характеристики которых с течением времени не изменяются, т. е. будут рассматриваться стационарные случайные процессы.

Одной из основных статистических характеристик стационарного случайного процесса является корреляционная функция

которая определяется на основании наблюдения за процессом. Корреляционная функция указывает степень связи последующих значений случайной функции с предыдущими: чем шире диапазон на котором отлична от нуля, тем сильнее эта связь

Другая основная статистическая характеристика процесса есть спектральная плотность, которая связана с корреляционной функцией преобразованием Фурье:

Если существуют два случайных процесса то связь между ними характеризуется взаимной корреляционной

функцией по которой определяется взаимная спектральная плотность

Предположим, что спектральная плотность имеет одно и то же значение на всем диапазоне частот от до Такой случайный процесс именуют «белым шумом». Его статистические характеристики

Это идеальный, физически неосуществимый случайный процесс, в котором последующие значения совершенно не связаны с предыдущими.

Иногда реальный случайный процесс в первом приближении можно рассматривать как «белый шум». Чаще наблюдается стационарный случайный процесс без постоянной и периодической составляющих со статистическими характеристиками

где и — постоянные.

Конечно, имеют место случайные процессы и иного характера, в частности с периодической составляющей. Их корреляционные функции и спектральные плотности определяются более сложными выражениями.

Прохождение случайного сигнала через линейную систему. Если к линейной системе приложено внешнее воздействие, являющееся стационарной случайной функцией, то в установившемся режиме все координаты системы представляют собой также стационарные случайные функции. При этом спектральная плотность каждой из координат равна спектральной плотности внешнего воздействия, умноженной на квадрат модуля частотной передаточной функции системы для рассматриваемой координаты. В системе автоматического регулирования наибольший интерес представляет определение статистических характеристик рассогласования — его спектральной плотности и среднеквадратичного значения.

Пусть задающее воздействие линейной САР (рис. 9.27) есть стационарная случайная функция со спектральной плотностью а возмущение отсутствует. Тогда спектральная плотность среднее значение квадрата и среднеквадратичное

Рис. 9.2 7. Структурная схема САР со случайными внешними воздействиями

значение лгкп рассогласования равны соответственно:

где

Предположим, что на рассматриваемую САР кроме задающего воздействия влияет и возмущение также являющееся стационарной случайной функцией со спектральной плотностью Имеются взаимная связь (корреляция) этих двух случайных функций и взаимная спектральная плотность .

Тогда

где

Возмущение может быть приложено и на входе системы. В этом случае Если корреляция между задающим воздействием и возмущением отсутствует и то формула (9.94) соответственно упрощается.

Соотношения (9.91) и (9.94) позволяют определить спектральную плотность рассогласования и в более сложном случае — при нескольких случайных воздействиях, из которых два взаимосвязаны, а остальные автономны. Составляющая от коррелированных воздействий определяется согласно (9.94) и составляющие от автономных воздействий — согласно (9.91).

Может оказаться, что к САР приложены как случайные, так и детерминированные внешние воздействия. В этом случае при подсчете среднего квадрата рассогласования к составляющей от случайных воздействий, определяемой формулой (9.92), необходимо прибавлять и составляющие от каждого из

детерминированных воздействии. Предположим, что возмущение в САР, структурная схема которой изображена на рис. 9.27, детерминированное. Им создается составляющая среднего квадрата рассогласования

где — изображение по Лапласу возмущения

При определении среднего квадрата рассогласования по формуле (9.92) возникает необходимость вычислять интегралы вида

где

В общем случае при любом и отсутствии правых и нулевых корней у полинома этот интеграл имеет следующее значение [28]:

где

и определитель получается из заменой первой строки на

При интегралы имеют следующие значения:

где

Пример 9.11. Задающее воздействие следящей системы, структурная схема которой изображена на рис. 9.27, является случайной функцией и где град а; Передаточные функции системы

где

Определить среднеквадратичное значение рассогласования.

Определим, пользуясь формулой (9.90), спектральную плотность задающего воздействия:

Сосгатм неррдм точную функцию системы для рассогласования:

Найдем, пользуясь формулой (9.91), спектральную плотность рассогласования:

Теперь, используя формулу (9.92), можно определить среднее значение квадрата рассогласования:

где

Итак, коэффициенты интеграла следующие:

Следовательно, на основании соответствующей формулы из (9.98)

Среднее значение квадрата рассогласования и среднеквадратичное значение рассогласования

Среднеквадратичное значение рассогласования (ошибки) принято рассматривать как показатель (критерий) оптимальности САР при случайных внешних воздействиях.

Определение оптимальных параметров систем. Среднеквадратичное значение рассогласования зависит как от статистических характеристик внешних воздействий, так и от структуры и параметров системы. Синтез САР проводится при заданных характеристиках внешних воздействий, и необходимое (допустимое или оптимальное) среднеквадратичное значение рассогласования может быть обеспечено только соответствующим выбором структуры и параметров САР.

Во многих случаях при синтезе САР задаются ее структура (передаточные функции элементов) и часть параметров. Значения остальных параметров должны быть определены так, чтобы они были оптимальными — обеспечивали минимум среднеквадратичного значения рассогласования. Обычно выбору подлежит небольшое число параметров Чаще всего выбирают один параметр.

Для решения такой задачи среднее значение квадрата рассогласования определяется в виде явной функции искомых параметров:

Затем искомые параметры находят по минимуму функции так же как по минимуму интегральной оценки (см. п. 9.2).

Пример 9.12. Передаточная функция разомкнутой следящей системы

Задающее воздействие и помеха на входе системы являются не связанными одна с другой случайными времени:

Определить среднеквадратичное значение рассогласования при что соответствует минимуму интегральной оценки, и при оптимальном значении к.

Определим передаточные функции для рассогласования от задающего воздействия и от помехи:

По формуле (9.94) найдем спектральную плотность рассогласования, приняв

Следовательно, на основании формулы (9.92) среднее значение квадрата рассогласования

где

Коэффициенты полиномов интеграла имеют следующие значения:

По сиотиггствующей формула из

При , следовательно,

Для определения оптимального значения находим частную производную от по к и приравниваем ее нулю:

Получим уравнение для определения

Его решение: . При этом град.

Для проверки вычислим: при и при

Действительно, при в рассматриваемой САР при случайных внешних воздействиях среднеквадратичное значение рассогласования минимально. Оно заметно меньше значения при , выбранном по минимуму улучшенной квадратичной интегральной оценки.

Определение оптимальной передаточной функции системы. При реализации оптимальных (в статистическом смысле) значений параметров в системе с заданной структурой не всегда достигается желаемое (допустимое) среднеквадратичное значение рассогласования. Значительно лучшие результаты могут быть получены при оптимальной структуре системы — при оптимальной передаточной функции.

Если оптимальная передаточная функция не может быть физически реализована, то все же ее определение полезно: становится очевидным тот предел улучшения качества системы при данных случайных воздействиях, к которому следует стремиться.

Задача определения оптимальней передаточной функции может быть сформулирована следующим сбразом. На входе системы (рис. 9.28) задающее воздействие (полезный сигнал) и возмущение (помеха) являющиеся стационарными случайными функциями времени с известными статистическими характеристиками. Система должна воспроизводить задающее воздействие в соответствии с передаточной функцией Требуется найти оцтимальную передаточную функцию системы, при которой имеет минимум среднеквадратичное значение ошибки т. е. разности между желаемым и и действительным значениями регулируемой величины. Передаточная функция

Рис. 9.28. К определению оптимальной передаточной функции

должна удовлетворять наиболее слабому условию физической реализуемости: реакция системы на входной сигнал не может наступать ранее сигнала.

Решение задачи дано Н. Винером:

Здесь — взаимная спектральная плотность сигналов и а комплексные функции зависят от спектральной плотности суммарного сигнала на входе системы:

Спектральная плотность есть четкая функция со, ее можно представить в виде

Поэтому

где — нули и полюсы функции

Если передаточная функция соответствует выражению (9.100), то среднее значение квадрата ошибки минимальное.

Формула (9.100) может быть использована прежде всего для решения задачи фильтрации (сглаживания) помехи [98], т. е. для отыскания передаточной функции системы, в которой при наличии помехи задающее воздействие воспроизводится с минимальным среднеквадратичным значениемрассогласования При решении этой задачи

и формула (9.100) приводится к виду

Функция определяется по формуле (9.102), а

где — полюса функции

лежащие в верхней полуплоскости;

Определение по формуле (9.104) может быть выполнено не только аналитически, но и графоаналитически [98], что особенно удобно, когда спектральные и взаимные спектральные плотности заданы в виде графиков.

Предположим, что определяется для воспроизведения полезного сигнала при высоком уровне помехи которая представляет собой «белый шум» со спектральной плотностью и не имеет взаимной связи с полезным сигналом Тогда в первом приближении [98]

Пример 9.13. Для системы, рассмотренной в примере 9.12, отыскать передаточную функцию оптимальную относительно фильтрации помехи и определить среднеквадратичное значение рассогласования возникающего в системе с передаточной функцией

Определим спектральную плотность суммарного сигнала на входе системы. Полезный сигнал и помеха не имеют взаимной связи (не коррелированы): поэтому по формуле (9.101)

Далее, использовав формулы (9.101) и (9.102), определим

Следовательно:

Затем найдем функцию . В данном случае и

Теперь можно составить функцию

Эта функция имеет два полюса, и в верхней полуплоскости лежит только один из них: Следовательно, по формуле (9.106)

и по формуле (9.105)

Далее, использовав формулу (9.104), определим

где

Игак, оптимальная передаточная функция замкнутой системы

и передаточная функция разомкнутой цепи этой системы

В заключение определим среднеквадратичное значение рассогласования которое возникает в этой оптимальной системе. По формуле (9.94)

где

Затем с помощью формулы (9.99) найдем

где

Использовав соответствующие формулы из (9.98), вычислим Следовательно, и среднеквадратичное значение рассогласования в оптимальной системе

Из полученного результата следует, что в оптимальной системе задающее воздействие и возмущение создают одинаковые слагаемые рассогласования.

Сравнивая полученный результат с результатом примера 9.12, заключаем: оптимальное значение передаточного коэффициента разомкнутой системы не обеспечивает еще достаточного приближения к минимально возможному среднеквадратичному значению рассогласования. Видимо, если невозможно иметь оптимальное значение передаточной функции системы, то следует кроме оптимального значения передаточного коэффициента иметь еще и оптимальное значение постоянной времени форсирующего элемента.

По формуле (9.100) может быть определена [98] передаточная функция системы, в которой с минимальным среднеквадратичным значением ошибки воспроизводится упрежденное значение задающего воздействия, т. е. задающее воздействие воспроизводится с оценкой его вероятного значения в будущем. В этом случае Такая задача статистического упреждения может быть решена совместно с задачей фильтрации помехи.

Формула (9.100) может быть использована также для определения передаточных функций запаздывающего фильтра или дифференциатора. Запаздывающий фильтр — это система, в которой задающее воздействие воспроизводится с необходимым запаздыванием. Дифференциатор воспроизводит производную от задающего воздействия. В обоих случаях может быть обеспечен минимум среднеквадратичного значения рассогласования при наличии помехи.

Формула (9.100) может быть преобразована для решения перечисленных задач при заданной передаточной функции объекта регулирования и при наличии кроме помехи на входе возмущения, приложенного непосредственно к объекту.