2.1. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СТАТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Часто встречаются элементы, у которых нелинейна лишь статическая характеристика, т. е. зависимость выходной величины у от входной величины х в установившемся режиме. Предположим, что при действии элемента его входная величина изменяется только в пределах и на этом участке статическая характеристика с достаточной точностью может быть аппроксимирована прямой линией (рис. 2.1). Тогда эта прямая и может быть принята за статическую характеристику. Следовательно, приближенно

где

Такую простую линеаризацию — метод осреднения — используют в инженерной практике, когда на рабочем участке характеристика достаточно гладкая, но все же не может быть аппроксимирована более точно простой функцией.

Шире используют метод малых отклонений, который позволяет линеаризовать как нелинейные статические характеристики, так

Рис. 2.1. Линеаризация статической характеристики методом осреднения

и нелинейные дифференциала уравнения [61].

Выясним суть метода, для этого линеаризуем уравнение

где — входные величины элемента (известные функции времени); у — его выходная величина (искомая функция времени).

Для наглядности рассмотрим уравнение второго порядка и число аргументов функции примем небольшим. Вообще же, этот метод применим к уравнениям произвольного порядка с произвольным числом аргументов функции

Если функция дифференцируема по всем своим аргументам, то она может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности произвольно выбранной точки. При линеаризации уравнений элементов САР эта точка должна соответствовать установившемуся режиму. В этом режиме есть постоянные величины и Тогда после разложения функции в ряд получим

где — отклонения переменных от установившихся значений; — частные производные от функции при сумма членов, которые содержат различные произведения отклонений и отклонения во второй и более высоких степенях с коэффициентами в виде смешанных частных производных и частных производных второго и высших порядков от функции по соответствующим аргументам.

В устойчивых системах автоматического регулирования откло нения переменных достаточно малы, поэтому сумма Ф в уравнении (2.3) содержит лишь члены высшего порядка малости, и ею можно пренебречь. Кроме того, следует принять во внимание уравнение установившегося режима

В результате получим искомое линеаризованное уравнение

Уравнение (2.4) — линейное уравнение с постоянными коэффициентами, но оно в отличие от уравнения (2.2) приближенное, так как отброшена сумма Ф и уравнение (2.4) содержит не переменные , а их отклонения от установившегося режима. В ряде случаев тогда линеаризованное уравнение становится уравнением для переменных .

Необходимо иметь в виду следующее. Отклонения действительно малы, когда переменные есть выходные величины других элементов системы автоматического регулирования. Если же какая-то из входных величин рассматриваемого элемента представляет собой внешнее воздействие на систему, то должна быть выяснена возможность предположения о малости отклонений этой переменной и ее производных.

Очевидно, что метод малых отклонений неприменим для линеаризации уравнения (2.2), если функция имеет разрывы непрерывности или неоднозначность по какой-либо из переменных.

Пример 2.1. Уравнение моментов на валу электродвигателя постоянного тока с независимым возбуждением

где — угловая скорость вращения; — вращающий момент; — ток в обмотке якоря; — момент сопротивления вращению и — момент инерции вращающихся масс.

В установившемся режиме и уравнение моментов имеет следующий вид:

Разлагая функцию в ряд Тейлора и пренебрегая членами высшего порядка малости, получим

Затем, подставив в уравнение моментов полученное значение а также найдем

Принимая во внимание уравнение установившегося режима, получаем линеаризованное уравнение моментов на валу электродвигателя:

Здесь — управляющее воздействие и Атс — возмущение. Частные производные определяются по характеристикам электродвигателя, которые задаются в виде графиков.