7.7. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПО РАСПОЛОЖЕНИЮ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

Переходная характеристика зависит от значения нулей и полюсов передаточной функции САР (см. п. 4.1). Эта зависимость используется для оценки качества переходной характеристики. Качество регулирования зависит также от взаимного расположения нулей и полюсов передаточной функции и изображения внешнего воздействия. Ниже излагаются основные сведения об

этих оценках. Наиболее эффективен метод корневых годографов, который будет рассмотрен в п. 7.8.

Оценка распределения полюсов передаточной функции и их связь с показателями качества. В простейшем случае передаточная функция САР относительно внешнего воздействия не имеет нулей:

Тогда переходная характеристика и ее показатели качества полностью определяются распределением полюсов этой передаточной функции, т. е. корнями характеристического уравнения (6.4). Будем рассматривать устойчивую систему: все коэффициенты характеристического уравнения положительные и его корни располагаются слева от мнимой оси комплексной плоскости корней.

Некоторой обобщенной оценкой числового значения коэффициентов характеристического уравнения, и его корней может служить параметр

называемый среднегеометрическим корнем.

Параметр служит мерой быстроты протекания переходных процессов. Увеличение в с раз ведет к тому, что форма переходной характеристики не изменяется, а время регулирования уменьшается в с раз. Очевидно, что для увеличения следует увеличивать передаточный коэффициент разомкнутой САР.

Предварительные сведения о расположении корней характеристического уравнения можно получить на основании следующих соотношений между коэффициентами этого уравнения [53]:

модули всех корней меньше единицы;

модули всех корней больше единицы;

3) если все отношения последующего коэффициента к предыдущему заключены между положительными числами :

то модули всех корней заключены между теми же числами

Рис. 7,1 в. Определение области расположения корней характеристического уравнения параметрами а — ближайшие корни комплексные сопряженные; б — ближайший корень вещественный

Пример 7.6. Определить границы расположения корней характеристического уравнения

Неравенства (7.46) и (7.47) не выполняются и, следовательно, модули корней и меньше и больше единицы. Вычислим отношения последующего коэффициента уравнения к предыдущему:

На основании неравенств (7.48) и (7.49) заключаем, что модули корней рассматриваемого уравнения лежат в пределах

Для проверки вычислим корни рассмотренного уравнения: Следовательно, в действительности модули корней находятся в пределах

Точнее область расположения корней характеристического уравнения можно определить параметрами (рис. 7.16). Параметр называемый степенью устойчивости, есть расстояние от мнимой оси до ближайшего корня, т. е. значение его вещественной части. Не следует смешивать параметры «степень устойчивости» и «запас устойчивости», так как это совершенно различные, не связанные один с другим параметры. Степень устойчивости оценивает быстродействие системы.

Параметр есть расстояние от мнимой оси до наиболее удаленного корня, т. е. значение его вещественной части. Параметр называемый колебательностью, — это отношение мнимой части ближайшего комплексного корня к вещественной а:

Для вычисления рекомендуют следующий метод. В характеристическое уравнение (6.4) подставляют и получают смещенное уравнение

где коэффициенты — функции и

Уравнение (7.51) получено в результате смещения мнимой оси плоскости корней характеристического уравнения влево на величину При этом пара комплексно сопряженных корней (см. рис. 7.16, с) или вещественный корень (см. рис. 7.16, б) попадают на мнимую ось. Поэтому смещенное уравнение (7.51) соответствует границе устойчивости, и для вычисления к этому уравнению следует применить любой критерий устойчивости.

Приближенная связь между параметрами и показателями качества переходной характеристики заключается в следующем. Корни характеристического уравнения, расположенные ближе к мнимой оси, т. е. имеющие наименьшую по абсолютному значению вещественную часть, дают составляющие переходной характеристики, которые затухают наиболее медленно. Поэтому по степени устойчивости можно приближенно определить время регулирования, т. е. время по истечении которого отклонение от установившегося значения не превысит если ближайший к мнимой оси корень вещественный, и если ближайшая к мнимой оси пара корней комплексная сопряженная.

Я. 3. Цыпкин [116] дает другую оценку быстродействия по значению процессы в системе затухают быстрее, чем экспонента

По значению можно также построить мажоранты и миноранты [72], т. е. кривые, определяющие область, в которой располагается переходная характеристика при типовом расположении корней и типовых начальных условиях.

По значению колебательности можно определить приближенное значение перерегулирования переходной характеристики:

если ближе к мнимой оси расположена пара комплексных сопряженных корней.

Колебательность связана еще с одним показателем качества переходной характеристики — с затуханием ?. Затухание за период

где — первая и вторая амплитуды синусоидальной составляющей переходной характеристики, соответствующей комплексным сопряженным корням.

Взаимосвязь определяется следующими формулами;

Пример 7.7. Передаточная функция замкнутой системы

Определить приближенно показатели качества переходной характеристики, пользуясь степенью устойчивости и колебательностью.

Определим корни характеристического уравнения:

Следовательно,

По ранее приведенным соотношениям определим время регулирования и перерегулирование:

Действительные значения этих показателей таковы:

Диаграмма Вышнеградского. Если в характеристическом уравнении третьего порядка все члены разделить на свободный член и выполнить подстановку то получим нормированное уравнение

где параметры Вышнеградского:

На плоскости параметров А и В граница колебательной устойчивости определяется уравнением при Это равнобокая гипербола, для которой оси координат служат асимптотами (рис. 7.17). Область устойчивости находится выше этой кривой, ее разделяют на три части в соответствии с расположением корней уравнения (7.55) на комплексной плоскости. Уравнение

кривыми и выделяет область соответствующую трем вещественным корням. Кроме того, уравнение

дает кривую . В результате выделяются области I и II. Им соответствует один вещественный и пара комплексных сопряженных корней (см. рис. 7.18).

Полученный график называют диаграммой Вышнеградского. Область I — область колебательных процессов, область II — монотонных процессов и область III — апериодических процессов. Таким образом, по диаграмме легко определить как устойчивость системы третьего порядка с передаточной функцией (7.44), так и характер переходной характеристики.

Рис. 7.17. Диаграмма Вышнеградского

По уравнениям для области

и для областей II и III

на диаграмму можно нанести дополнительные линии равной степени устойчивости . В данном случае — нормированная степень устойчивости:

Дополнительные линии, соответствующие равным значениям наносят на диаграмму по уравнениям для областей

и для области

Здесь

Дополнительные линии равной колебательности наносят на диаграмму по уравнению

где Эти же линии являются линиями равных значений затухания .

Диаграмма с дополнительными линиями позволяет по параметрам А и В Вышнеградского определить значения Затем, как было изложено ранее, можно найти приближенные значения показателей качества переходной характеристики.

В двух случаях диаграмму Вышнеградского удается использовать для приближенной оценки качества системы более высокого порядка и с передаточной функцией, имеющей нули. Это возможно, когда:

1) три полюса передаточной функции системы являются доминирующими, а остальные удалены от мнимой оси влево значительно дальше и ими можно пренебречь;

2) передаточная функция имеет нули, которые компенсируют некоторые из полюсов, и остаются лишь три доминирующих полюса. Можно считать, что нуль компенсирует полюс если

В обоих случаях действительную передаточную функцию системы заменяют приближенной передаточной функцией третьего порядка, не имеющей нулей.

Рис. 7.18. Переходные характеристики» определенные по передаточным функциям

Влияние расположения нулей и полюсов передаточной функции на переходную характеристику. На основании изложенного можно заключить, что в устойчивой системе имеет место следующее.

1. Близко расположенные полюс и нуль взаимно компенсируются. Их расположение считается близким при удовлетворении неравенства (7.66).

2. Уменьшение амплитуды колебательной составляющей, создаваемой комплексными полюсами, и приближение к асимптоте экспоненциальной составляющей, создаваемой вещественным полюсом, происходит тем быстрее, чем больше модуль вещественного полюса.

3. Время регулирования переходной характеристики зависит в основном от абсолютного значения вещественной части доминирующих полюсов или полюса. Доминируют ближайшие к мнимой оси комплексные полюса или ближайший вещественный полюс.

4. Перерегулирование переходной характеристики зависит от отношения мнимой части доминирующих комплексных полюсов к вещественной.

5. Близкие к началу координат нули, если они не компенсируются полюсами, и удаленные от него, но не доминирующие полюса увеличивают время регулирования и перерегулирование.

Пример 7.8. Полюсы передаточной функции замкнутой системы

Определить показатели качества и 0 переходной характеристики и выяснить, как они изменятся, если передаточная функция имеет еще нуль или полюс Для рассматриваемых случаев передаточная функция системы имеет соответственно следующие значения;

Переходные характеристики, соответствующие этим передаточным функциям, изображены на рис. 7.18 кривыми 2 и 3; перерегулирование время регулирования и

О взаимном расположении нулей и полюсов передаточной функции и изображения внешнего воздействия. Целью САР является воспроизведение с минимальными погрешностями задающего воздействия и максимально возможное подавление возмущений. Достижению этой цели способствует выполнение следующих рекомендаций.

1. Полюсы передаточной функции необходимо удалять от области расположения полюсов внешнего воздействия и во всяком случае не допускать их совпадения, что приводит к резонансу.

2. Нули передаточной функции относительно возмущения следует располагать возможно ближе к полюсам изображения этого возмущения. При этом уменьшается вынужденная составляющая регулируемой координаты, создаваемая возмущением.

3. Нули и полюсы передаточной функции относительно задающего воздействия следует располагать так, чтобы при всех полюсах изображения задающего воздействия она имела приблизительно одно и то же значение: - При этом ошибка слежения минимальная.

4. Нули передаточной функции необходимо располагать около ее полюсов, наиболее близких к мнимой оси. Это уменьшает собственную сопровождающую составляющую.

5. Полюсы передаточной функции следует по возможности удалять от мнимой оси: чем дальше полюсы от мнимой оси, тем быстрее затухает свободная составляющая.