Главная > Линейные автоматические системы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

7.7. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПО РАСПОЛОЖЕНИЮ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

Переходная характеристика зависит от значения нулей и полюсов передаточной функции САР (см. п. 4.1). Эта зависимость используется для оценки качества переходной характеристики. Качество регулирования зависит также от взаимного расположения нулей и полюсов передаточной функции и изображения внешнего воздействия. Ниже излагаются основные сведения об

этих оценках. Наиболее эффективен метод корневых годографов, который будет рассмотрен в п. 7.8.

Оценка распределения полюсов передаточной функции и их связь с показателями качества. В простейшем случае передаточная функция САР относительно внешнего воздействия не имеет нулей:

Тогда переходная характеристика и ее показатели качества полностью определяются распределением полюсов этой передаточной функции, т. е. корнями характеристического уравнения (6.4). Будем рассматривать устойчивую систему: все коэффициенты характеристического уравнения положительные и его корни располагаются слева от мнимой оси комплексной плоскости корней.

Некоторой обобщенной оценкой числового значения коэффициентов характеристического уравнения, и его корней может служить параметр

называемый среднегеометрическим корнем.

Параметр служит мерой быстроты протекания переходных процессов. Увеличение в с раз ведет к тому, что форма переходной характеристики не изменяется, а время регулирования уменьшается в с раз. Очевидно, что для увеличения следует увеличивать передаточный коэффициент разомкнутой САР.

Предварительные сведения о расположении корней характеристического уравнения можно получить на основании следующих соотношений между коэффициентами этого уравнения [53]:

модули всех корней меньше единицы;

модули всех корней больше единицы;

3) если все отношения последующего коэффициента к предыдущему заключены между положительными числами :

то модули всех корней заключены между теми же числами

Рис. 7,1 в. Определение области расположения корней характеристического уравнения параметрами а — ближайшие корни комплексные сопряженные; б — ближайший корень вещественный

Пример 7.6. Определить границы расположения корней характеристического уравнения

Неравенства (7.46) и (7.47) не выполняются и, следовательно, модули корней и меньше и больше единицы. Вычислим отношения последующего коэффициента уравнения к предыдущему:

На основании неравенств (7.48) и (7.49) заключаем, что модули корней рассматриваемого уравнения лежат в пределах

Для проверки вычислим корни рассмотренного уравнения: Следовательно, в действительности модули корней находятся в пределах

Точнее область расположения корней характеристического уравнения можно определить параметрами (рис. 7.16). Параметр называемый степенью устойчивости, есть расстояние от мнимой оси до ближайшего корня, т. е. значение его вещественной части. Не следует смешивать параметры «степень устойчивости» и «запас устойчивости», так как это совершенно различные, не связанные один с другим параметры. Степень устойчивости оценивает быстродействие системы.

Параметр есть расстояние от мнимой оси до наиболее удаленного корня, т. е. значение его вещественной части. Параметр называемый колебательностью, — это отношение мнимой части ближайшего комплексного корня к вещественной а:

Для вычисления рекомендуют следующий метод. В характеристическое уравнение (6.4) подставляют и получают смещенное уравнение

где коэффициенты — функции и

Уравнение (7.51) получено в результате смещения мнимой оси плоскости корней характеристического уравнения влево на величину При этом пара комплексно сопряженных корней (см. рис. 7.16, с) или вещественный корень (см. рис. 7.16, б) попадают на мнимую ось. Поэтому смещенное уравнение (7.51) соответствует границе устойчивости, и для вычисления к этому уравнению следует применить любой критерий устойчивости.

Приближенная связь между параметрами и показателями качества переходной характеристики заключается в следующем. Корни характеристического уравнения, расположенные ближе к мнимой оси, т. е. имеющие наименьшую по абсолютному значению вещественную часть, дают составляющие переходной характеристики, которые затухают наиболее медленно. Поэтому по степени устойчивости можно приближенно определить время регулирования, т. е. время по истечении которого отклонение от установившегося значения не превысит если ближайший к мнимой оси корень вещественный, и если ближайшая к мнимой оси пара корней комплексная сопряженная.

Я. 3. Цыпкин [116] дает другую оценку быстродействия по значению процессы в системе затухают быстрее, чем экспонента

По значению можно также построить мажоранты и миноранты [72], т. е. кривые, определяющие область, в которой располагается переходная характеристика при типовом расположении корней и типовых начальных условиях.

По значению колебательности можно определить приближенное значение перерегулирования переходной характеристики:

если ближе к мнимой оси расположена пара комплексных сопряженных корней.

Колебательность связана еще с одним показателем качества переходной характеристики — с затуханием ?. Затухание за период

где — первая и вторая амплитуды синусоидальной составляющей переходной характеристики, соответствующей комплексным сопряженным корням.

Взаимосвязь определяется следующими формулами;

Пример 7.7. Передаточная функция замкнутой системы

Определить приближенно показатели качества переходной характеристики, пользуясь степенью устойчивости и колебательностью.

Определим корни характеристического уравнения:

Следовательно,

По ранее приведенным соотношениям определим время регулирования и перерегулирование:

Действительные значения этих показателей таковы:

Диаграмма Вышнеградского. Если в характеристическом уравнении третьего порядка все члены разделить на свободный член и выполнить подстановку то получим нормированное уравнение

где параметры Вышнеградского:

На плоскости параметров А и В граница колебательной устойчивости определяется уравнением при Это равнобокая гипербола, для которой оси координат служат асимптотами (рис. 7.17). Область устойчивости находится выше этой кривой, ее разделяют на три части в соответствии с расположением корней уравнения (7.55) на комплексной плоскости. Уравнение

кривыми и выделяет область соответствующую трем вещественным корням. Кроме того, уравнение

дает кривую . В результате выделяются области I и II. Им соответствует один вещественный и пара комплексных сопряженных корней (см. рис. 7.18).

Полученный график называют диаграммой Вышнеградского. Область I — область колебательных процессов, область II — монотонных процессов и область III — апериодических процессов. Таким образом, по диаграмме легко определить как устойчивость системы третьего порядка с передаточной функцией (7.44), так и характер переходной характеристики.

Рис. 7.17. Диаграмма Вышнеградского

По уравнениям для области

и для областей II и III

на диаграмму можно нанести дополнительные линии равной степени устойчивости . В данном случае — нормированная степень устойчивости:

Дополнительные линии, соответствующие равным значениям наносят на диаграмму по уравнениям для областей

и для области

Здесь

Дополнительные линии равной колебательности наносят на диаграмму по уравнению

где Эти же линии являются линиями равных значений затухания .

Диаграмма с дополнительными линиями позволяет по параметрам А и В Вышнеградского определить значения Затем, как было изложено ранее, можно найти приближенные значения показателей качества переходной характеристики.

В двух случаях диаграмму Вышнеградского удается использовать для приближенной оценки качества системы более высокого порядка и с передаточной функцией, имеющей нули. Это возможно, когда:

1) три полюса передаточной функции системы являются доминирующими, а остальные удалены от мнимой оси влево значительно дальше и ими можно пренебречь;

2) передаточная функция имеет нули, которые компенсируют некоторые из полюсов, и остаются лишь три доминирующих полюса. Можно считать, что нуль компенсирует полюс если

В обоих случаях действительную передаточную функцию системы заменяют приближенной передаточной функцией третьего порядка, не имеющей нулей.

Рис. 7.18. Переходные характеристики» определенные по передаточным функциям

Влияние расположения нулей и полюсов передаточной функции на переходную характеристику. На основании изложенного можно заключить, что в устойчивой системе имеет место следующее.

1. Близко расположенные полюс и нуль взаимно компенсируются. Их расположение считается близким при удовлетворении неравенства (7.66).

2. Уменьшение амплитуды колебательной составляющей, создаваемой комплексными полюсами, и приближение к асимптоте экспоненциальной составляющей, создаваемой вещественным полюсом, происходит тем быстрее, чем больше модуль вещественного полюса.

3. Время регулирования переходной характеристики зависит в основном от абсолютного значения вещественной части доминирующих полюсов или полюса. Доминируют ближайшие к мнимой оси комплексные полюса или ближайший вещественный полюс.

4. Перерегулирование переходной характеристики зависит от отношения мнимой части доминирующих комплексных полюсов к вещественной.

5. Близкие к началу координат нули, если они не компенсируются полюсами, и удаленные от него, но не доминирующие полюса увеличивают время регулирования и перерегулирование.

Пример 7.8. Полюсы передаточной функции замкнутой системы

Определить показатели качества и 0 переходной характеристики и выяснить, как они изменятся, если передаточная функция имеет еще нуль или полюс Для рассматриваемых случаев передаточная функция системы имеет соответственно следующие значения;

Переходные характеристики, соответствующие этим передаточным функциям, изображены на рис. 7.18 кривыми 2 и 3; перерегулирование время регулирования и

О взаимном расположении нулей и полюсов передаточной функции и изображения внешнего воздействия. Целью САР является воспроизведение с минимальными погрешностями задающего воздействия и максимально возможное подавление возмущений. Достижению этой цели способствует выполнение следующих рекомендаций.

1. Полюсы передаточной функции необходимо удалять от области расположения полюсов внешнего воздействия и во всяком случае не допускать их совпадения, что приводит к резонансу.

2. Нули передаточной функции относительно возмущения следует располагать возможно ближе к полюсам изображения этого возмущения. При этом уменьшается вынужденная составляющая регулируемой координаты, создаваемая возмущением.

3. Нули и полюсы передаточной функции относительно задающего воздействия следует располагать так, чтобы при всех полюсах изображения задающего воздействия она имела приблизительно одно и то же значение: - При этом ошибка слежения минимальная.

4. Нули передаточной функции необходимо располагать около ее полюсов, наиболее близких к мнимой оси. Это уменьшает собственную сопровождающую составляющую.

5. Полюсы передаточной функции следует по возможности удалять от мнимой оси: чем дальше полюсы от мнимой оси, тем быстрее затухает свободная составляющая.

1
Оглавление
email@scask.ru