5.2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ЗАМКНУТОЙ И РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

В системе с единичной обратной связью частотная передаточная функция замкнутой системы

где — частотная передаточная функция разомкнутой системы.

Равенство (5.10) определяет связь между частотными характеристиками замкнутой и разомкнутой системы. Подставив в равенство (5.10)

и разделив его действительную и мнимую части, получим

Равенства (5,11) определяют зависимость вещественной Р и мнимой частотных характеристик замкнутой системы от вещественной и мнимой V частотных характеристик разомкнутой системы.

Подставив в равенство и выделив его модуль и аргумент, получим

Равенства (5.12) определяют зависимость амплитудной М и фазовой 0 частотных характеристик замкнутой системы от вещественной и мнимой частотных характеристик разомкнутой системы.

Легко составить и равенства, определяющие зависимость частотных характеристик разомкнутой системы от вещественной и мнимой частотных характеристик замкнутой системы:

Для определения частотных характеристик замкнутой системы по вещественной и мнимой частотным характеристикам разомкнутой системы вместо формул (5.11) и (5.12) можно использовать графический метод круговых диаграмм [27]. Точность расчетов при этом ниже, но все же достаточна для практических целей.

Суть метода круговых диаграмм заключается в следующем. Формулы (5.11) и (5.12) можно рассматривать как уравнения кривых в системе координат каждая из которых определяет некоторое постоянное значение соответственно или 0. Уравнения всех этих кривых есть уравнения окружностей.

Рис. 5.3. Вещественная круговая диаграмма

Поэтому, задавшись различными значениями, предположим, характеристики Р, можно построить семейство окружностей в системе координат и это будет вещественная круговая диаграмма. Если затем в этой же системе координат построить АФЧХ разомкнутой цепи интересующей нас системы, то по точкам ее пересечения с семейством окружностей можно определить вещественную частотную характеристику этой системы в замкнутом состоянии. Точка АФЧХ, соответствующая некоторой частоте со, и совпадающая с окружностью определяет значение Р при частоте Точно так же строят и используют мнимую, амплитудную и фазовую круговые диаграммы.

Вещественная круговая диаграмма (рис. 5.3) состоит из окружностей радиуса с центрами, расположенными на действительной полуоси на расстоянии от начала осей координат:

Все окружности пересекают ось абсцисс в критической точке с координатами При окружность вырождается в прямую, которая проходит через эту точку параллельно оси ординат и делит всю диаграмму на две области. Левая область соответствует значениям правая — значениям Область, соответствующая отрицательным значениям Я, ограничивается окружностью, проходящей через начало осей координат и критическую точку. Часть вещественной круговой диаграммы, прилегающая к критической точке, показана на рис. 5.4.

Мнимая круговая диаграмма состоит из окружностей радиуса центры которых расположены на прямой, проходящей через критическую точку параллельно оси ординат, и отстоят действительной оси на расстояние

Рис. 5.4. Вещественная круговая диаграмма вблизи точки с координатами

При окружность вырождается в прямую, совпадающую с осью абсцисс и делящую диаграмму на две области. Верхняя область соответствует положительным значениям нижняя — отрицательным.

Амплитудная круговая диаграмма состоит из окружностей радиуса центры которых расположены на оси абсцисс на расстоянии от начала осей координат:

При окружность вырождается в прямую, которая параллельна оси ординат и пересекает ось абсцисс в точке с координатами Область диаграммы слева от этой прямой соответствует значениям справа — значениям

Фазовая круговая диаграмма состоит из окружностей, которые проходят через начало осей координат и критическую точку Центры окружностей располагаются на прямой, которая параллельна оси ординат и имеет абсциссу —0,5. Радиусы окружностей и их центры отстоят от оси абсцисс на расстояние

Круговые диаграммы удобно вычерчивать на прозрачной бумаге и затем накладывать на чертеж с АФЧХ разомкнутой системы. Масштабы чертежей должны быть одинаковыми и достаточно крупными. Чем крупнее масштаб, тем больше окружностей удастся изобразить на круговой диаграмме и тем точнее будет определена соответствующая частотная характеристика замкнутой системы. Участок АФЧХ около начала осей коордииат и соответствующую область круговой диаграммы обычно вычерчивают отдельно и в более крупном масштабе.

Основное затруднение при использовании круговых диаграмм и причина погрешностей заключается в определении частот, соответствующих точкам пересечения АФЧХ с окружностями.