Приложение 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

Преобразование Лапласа [26, 29, 61]

определяет соответствие между функцией времени — оригиналом и комплексной функцией — изображением, где — постоянные.

Оригиналом может быть любая функция времени равная нулю при и имеющая лишь конечное число точек разрыва непрерывности первого рода на всяком интервале ограниченной длины при Кроме того, интеграл

должен существовать при всех где — абсцисса абсолютной сходимости функции

Согласно свойствам преобразования (табл. операциям над оригиналами соответствуют определенные операции над. изображением. В частности, дифференцированию и интегрированию оригиналов соответствуют алгебраические операции над их изображением. Последнее используют для решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Сначала дифференциальное уравнение (или систему уравнений) преобразуют по Лапласу, а затем получают алгебраическое уравнение (или систему уравнений) относительно изображений.

Интеграл для большего числа функций вычислен, и преобразование сводится к использованию таблиц [30]. Изображения наиболее часто встречающихся функций даны в табл. Правильность преобразования рекомендуется [91, с. 125]

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Таблица П1.3 (см. скан) Формулы обращения дробно-рациональных изображений по Лапласу — постоянные;

проверять по следующим необходимым (а практически часто и достаточным) условиям: размерность изображения должна быть равна размерности оригинала, умноженной на время (размерность есть и по изображению должны быть правильно определены начальное и предельное значения оригинала (см. табл. П1.1).

Из алгебраического уравнения (или системы уравнений) опре деляют изображение искомой переменной. Затем по изображению путем обратного преобразования Лапласа.

с точностью до значений в точках разрыва непрерывности определяют оригинал, т. е. функцию времени, являющуюся искомой переменной. Таблица оригиналов, вычисленных по формуле (П1.3) для различных изображений, имеется в работе [30].

Изображение решения обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами представляет собой дробно-рациональную функцию. Для обращения (обратного преобразования Лапласа) таких функций удобно пользоваться формулами табл. П1.3. Оригиналы, соответствующие различным дробно-рациональным изображениям, приведены в табл. 4.1 и в значительно большем количестве в работе [60].

Для обращения дробно-рационального изображения, которое отсутствует в таблицах, можно воспользоваться теоремой свертывания (см. табл. П1.1) или же разложить это изображение на сумму простых дробей. Один из методов обращения, который может оказаться экономным, изложен в работе [181. Иногда при инженерных расчетах достаточно разложить изображение в ряд Лорана (см. п. 7.2) и отыскать приближенное значение оригинала.