3.4. АНАЛОГОВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ САР

При решении задач анализа и синтеза систем автоматического регулирования, кроме расчетов (путем ручного счета или с использованием цифровой ЭВМ), широко применяют аналоговое моделирование [42]. Чаще всего с помощью АВМ составляется электронная модель, т. е. электронная схема, процессы в которой описываются теми же уравнениями, что и отличные по физической природе процессы в исследуемой САР. Иногда электронная модель части САР соединяется с реальным элементом. Например, модель объекта и исполнительного элемента соединяется с реальным электрическим регулятором.

При исследовании модели можно изучить влияние параметров отдельных элементов САР на ее устойчивость и качество регулирования, получить осциллограммы переходных процессов при различных внешних воздействиях, выбрать оптимальные значения параметров элементов и т.д. Погрешности результатов могут составлять несколько процентов, но это часто допустимо при инженерных расчетах.

Основным линейным элементом электронной АВМ является усилитель постоянного тока с весьма большим коэффициентом усиления и глубокой отрицательной обратной связью, называемый операционным усилителем. Операционный усилитель охватывается обратной связью с комплексным сопротивлением и на входе включается комплексное сопротивление (табл. 3.4). Передаточная функция элемента

где — изображения Лапласу напряжений соответственно на входе и выходе элемента.

В используются следующие линейные решающие элементы (см. табл. 3 4): сумматор, интегратор, дифференциатор и инвертор.

Процессы в электронной модели характеризуются машинными переменными (напряжениями постоянного тока) и описываются теми же дифференциальными уравнениями, что и процессы в исследуемой системе, которые характеризуются переменными Однако машинные переменные отличаются от действительных их значениями. Масштабные коэффициенты

должны выбираться так, чтобы во всех режимах машинные переменные не выходили за пределы рабочего диапазона операционных усилителей или 10 В). Вместе с тем для повышения точности результатов исследования значения машинных переменных при решении задачи не должны оставаться малыми в течение длительных промежутков времени.

Таблица 3.4 (см. скан) Линейные элементы аналоговой вычислительной машины

Время протекания процессов в модели также может отличаться от времени исследуемых процессов, масштабный коэффициент времени

При выборе масштабного коэффициента необходимо учитывать, что процесс в модели может продолжаться лишь ограниченное время — несколько сотен секунд. Если же электронная модель

соединена с реальным элементом, то необходимо иметь т. е.

Схему электронной модели составляют по дифференциальному уравнению, которым описывается исследуемая система, или по структурной схеме этой системы.

В первом случае линейное дифференциальное уравнение исследуемой системы должно быть разрешено относительно старшей производной. Затем собирается цепочка из интеграторов. Тогда на выходе интегратора будет — 1-я производная, на выходе интегратора — 2-я производная и т. д. На выходе интегратора будет искомая переменная. На вход интегратора подается независимая переменная от генератора, который создает необходимую функцию времени (линейную, синусоидальную, экспоненциальную и т. д.). Для создания единичной ступенчатой функции генератор не нужен.

Кроме того, с выходов соответствующих интеграторов на вход интегратора подаются искомая переменная и ее младшие производные до — 1-й включительно. Производные с четных интеграторов подаются через инвертор для перемены знака,

Начальные условия задаются путем предварительного заряда интегрирующих конденсаторов. Если общее число интегралов нечетное, то на выходе последнего будет искомая переменная с обратным знаком. Для изменения ее знака должен быть включен инвертор.

В заключение составляется уравнение модели. На основании сравнения его коэффициентов с соответствующими коэффициентами исследуемого уравнения получается система алгебраических уравнений, которая после выбора масштабных коэффициентов позволяет определить параметры решающих элементов. В ряде случаев максимальные значения искомой переменной и ее производных и длительность процессов заранее неизвестны. Тогда правильные значения масштабных коэффициентов удается выбрать только путем проб.

Пример 3.5. Составить схему электронной модели для решения дифференциального уравнения

Разрешим исследуемое уравнение относительно старшей производной:

По полученному равенству составим схему модели (рис. 3.6) из интеграторов 1, 2 и 3 и инверторов 4 и 5. При этом имеет место следующее соответствие между машинными и действительными переменными:

Рис. 3.8. Схема электронной модели дифференциального уравнении третьего порядка

Теперь, используя табл. 3.4, можно составить систему уравнений, описывающих модель:

В инверторах поэтому Исключим из этой системы уравнений промежуточные переменные

Заменим машинные переменные действительными и на на основании следующих соотношений:

получим

Сравним это уравнение с исследуемым и составим систему алгебраических уравнений, которые связывают элементы решающих усилителей с маштабными коэффициентами и коэффициентами уравнений:

По этой системе четырех алгебраических уравнений после выбора масштабных коэффициентов следует выбрать девять элементов решающих усилителей. Следовательно, имеется свобода выбора параметров.

Рис. 3,7. Схема электродной модели дифференциального уравнения первого порядка

Если задача решается в замедленном темпе то необходимы большие значения сопротивлений и емкостей, а при ускоренном темпе — меньшие.

В ряде случаев исследуемое уравнение содержит производные независимой переменной. Для их создания в электронную модель могут быть включены дифференциаторы. Однако при операциях дифференцирования повышается уровень шумов и возникают некоторые специфические погрешности Поэтому вместо использования дифференциаторов целесообразнее подавать независимую переменную с соответствующими коэффициентами на входы еще несколько интеграторов, кроме первого.

Пример 3.6. Составить схему электронной модели для решения дифференциального уравнения

Для моделирования уравнения потребуется интегратор 1, сумматор 2 и инвертор 3 (рис. 3.7). При зтом имеет место следующее соответствие между машинными и действительными переменными:

По схеме модели на основании табл. 3.4 имеем

Заменив машинные переменные действительными и сравнив полученное уравнение с исследуемым, составим систему алгебраических уравнений для выбора элементов решающих усилителей:

При уравнении более высокого порядка и большем числе производных независимой переменной целесообразно сначала привести его к системе уравнений порядка и затем уже составлять схему модели. Порядок расчета изложен в работе [5]. Схема модели в таком слохмом случае может быть составлена также с помощью вспомогательной переменной [109].

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Для решения многих задач электронную модель удобнее составлять так, чтобы ее схема совпадала со структурной схемой исследуемой САР, т. е. собирать электронные модели отдельных динамических звеньев САР и соединять их в соответствии с ее структурной схемой. Такая модель имеет ряд преимуществ: в процессе решения задачи мохно наблюдать за каждой из координат САР, изменять параметры отдельных звеньев и учитывать их нелинейные свойства.

Данные для набора электронных моделей типовых динамических звеньев приведены в табл. 3.5. К некоторым схемам для получения положительных передаточных коэффициентов необходимо присоединить инвертор. Схемы моделей интегро-дифференцирующих звеньев даны в табл. 3.6. Сведения для моделирования более сложных звеньев мохно найти в работе [42]. В этой монографии рассматривается также моделирование нелинейных систем, систем с переменными параметрами и систем при случайных воздействиях.