5.5. СВЯЗЬ МЕЖДУ ЛОГАРИФМИЧЕСКИМИ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ЗАМКНУТОЙ И РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

На основании формулы (5.10) можно получить следующее соотношение:

Здесь и — логарифмическая амплитуда и фаза разомкнутой системы; — логарифмическая амплитуда и фаза замкнутой системы с единичной обратной связью.

Соотношение (5.27) позволяет построить в плоскости линии равных значений 0 и линии равных значений . Получается номограмма замыкания (номограмма пересчета) (рис. 5.12). Центральная часть номограммы в укрупненном масштабе представлена на рис. 5.13.

Рис. 5.12. (см. скан) Номограмма замыкания

Ось абсцисс номограммы есть ось фазы и ось ординат — ось логарифмической амплитуды разомкнутой системы.

Номограмма охватывает значения от 0 до дБ и от 0 до —26 дБ, так как при т.е. и , а при Итак, при больших по абсолютному значению надобность в номограмме отпадает. Следует считать

Номограмма дает возможность по известным значениям и разомкнутой системы определить значения 0 и А замкнутой

Рис. 5.13. (см. скан) Часть номограммы замыкания в укрупненном масштабе

системы с единичной обратной связью. Для этого по значениям и с помощью координатной сетки отыскивают на номограмме соответствующую им точку. Затем по криволинейной системе координат определяют значения 0 и , соответствующие этой точке. Если точка оказывается между линиями криволинейной системы координат, то значения 0 и определяются интерполяцией.

Каждая линия равных значений 0 имеет две отметки, сумма которых равна —360°. Поэтому нужно иметь в виду, что если то и если же то и

Пусть для некоторой частоты дБ. Отыскав на номограмме соответствующую точку, определим, что при замыкании системы единичной обратной связью для этой частоты дБ, Если дБ, то на номограмме им соответствует та же точка, что в предыдущем случае. Однако теперь —340° и попрежнему дБ.

Предположим, что номограмму используют для определения логарифмических частотных характеристик замкнутой системы. Тогда удобно на прозрачной бумаге вычертить такую же координатную сетку на какой построена номограмма. По заданным частотным характеристикам разомкнутой системы следует построить на этой сетке кривую и указать частоты, соответствующие отдельным точкам, затем наложить чертеж на номограмму и определить значения 0 и А для всех выбранных частот.

Номограмму замыкания используют не только в рассмотренном, но и в более общем случае — для определения логарифмических частотных характеристик системы с передаточной функцией

Равенство (5.29) можно привести к такому виду:

Следовательно, для отыскания логарифмической амплитуды (или фазы замкнутой системы с передаточной функцией определяемой равенством (5.30), при какой-то частоте со необходимо:

1) определить значение по частотной передаточной функции

2) пользуясь номограммой замыкания (рис. 5.12) или (5.13) определить значение А (или 0), соответствующее значениям и — логарифмическая амплитуда и — фаза частотной передаточной функции

3) сложить значения и А (или и 0).

Этим путем можно определять логарифмические частотные характеристики замкнутой системы относительно возмущения для нахождения ошибки слежения, а также относительно задающего воздействия при неединичной обратной связи. Действительно, в общем случае САР имеет структурную схему, изображенную на рис. 3.1, и перечисленные ее передаточные функции имеют следующие значения:

где

Номограмма замыкания может бытьиспользована ещеи для определения логарифмических частотных характеристик некоторых соединений динамических звеньев [101]. Необходимые для этого сведения даны в табл. 5.7, в ней изображены структурные

(кликните для просмотра скана)

схемы этих соединений и приведены их передаточные функции, указано, при каких значениях координат и нужно пользоваться номограммой замыкания в каждом случае и как на основании полученных по номограмме значений 0 и определить фазу и логарифмическую амплитуду рассматриваемого соединения.

Пример 5.6. Два апериодических звена с передаточными коэффициентами и постоянными времени с соединены параллельно. Определить фазу и логарифмическую амплитуду соединения при частоте

Определим фазу и логарифмическую амплитуду каждого из звеньев при заданной частоте:

Для определения можно воспользоваться поз. 3 табл. 5.7. В соответствии с таблицей,

По номограмме замыкания (см. рис. 5.12) определяем, что этим значениям и соответствуют 0—344° и -2,4 дБ.

В соответствии с поз. 3 табл. 5.7 подсчитываем фазу и логарифмическую амплитуду соединения:

Пример 5.7. Звено с передаточной функцией включено по схеме, показанной в поз. 6 табл. 5.7. Определить фазу и логарифмическую амплитуду соединения при частоте

Находим фазу и логарифмическую амплитуду звена при частоте

В соответствии с табл. 5.7,

Воспользуемся частью номограммы замыкания, выполненной в укрупненном масштабе (см. рис. 5.13), и определим —125° и 9,8 дБ. Следовательно, дБ.

Для выборочной проверки результатов, полученных по номограмме замыкания, можно воспользоваться соотношениями

где