9.6. СИНТЕЗ САР СРАВНЕНИЕМ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ И ПО КРИТЕРИЮ СБЛИЖЕНИЯ

Иногда необходимое корректирующее устройство САР невысокого порядка удобно определить по результату сравнения желаемой передаточной функции с передаточной функцией основной части системы.

К таким случаям следует отнести выбор корректирующего устройства по преобладающей паре комплексно-сопряженных полюсов передаточной функции замкнутой системы. В п. 9.5 эта задача решалась с использованием корневого годографа, однако ее можно решить и без графических построений.

Предположим, что заданы необходимое значение передаточного коэффициента к разомкнутой статической системы, а также допустимые значения перегулнрования а и времени регулирования По номограмме, изображенной на рис. 9.6, определим необходимые значения коэффициента демпфирования и постоянной времени Тогда желаемая передаточная функция замкнутой системы относительно задающего воздействия

и желаемая передаточная функция разомкнутой системы

При имеем

где

и при

где

Передаточная функция необходимого последовательного корректирующего устройства может быть затем определена по формуле (9.46).

Значения целесообразно варьировать в допустимых пределах с тем, чтобы или совпала с одной из постоянных времени основной части системы.

Нели синтезируется астатическая система при заданном значении то желаемая передаточная функция замкнутой системы должна содержать еще диполь:

В этом случае желаемая передаточная функция разомкнутой системы

Здесь

Из первой формулы (9.73) следует, что разность постоянных времени диполя не может быть выбрана произвольно. Она определяется заданным значением и значениями Т и , которые определяются заданными значениями Действительно,

При составлении желаемой передаточной функции необходимо стремиться к возможно большему совпадению ее с передаточной функцией неизменяемой части системы. Это может быть достигнуто выбором постоянной времени диполя.

Если в желаемой передаточной функции замкнутой системы предусмотреть двойной диполь, т. е. иметь

то для выбора будут большие возможности.

Пусть Тогда передаточный коэффициент разомкнутой системы

Для того чтобы иметь, например,

постоянные нужно выбирать так, чтобы удовлетворялась система уравнений

Пели выбрать так, чтобы разность была малой, постоянную времени принять равной одной из постоянных неизменяемой части, системы, то система уравнений (9.78) позволит определить .

Пример 9.9. Передаточная функция неизменяемой части системы

Выбрать передаточную функцию последовательного корректирующего устройства, которое при обеспечивает перерегулирование и время регулирования .

По номограмме, изображенной на рис. 9.6, определим, что при необходимо иметь Следовательно,

Итак, желаемая передаточная функция замкнутой системы должна содержать в знаменателе трехчлен:

Пусть также эта передаточная функция содержит двойной диполь. Тогда

На основании соотношения (9.76),

Выберем — тогда с.

Предположим, что желаемая передаточная функция разомкнутой системы включает передаточные функции трех апериодических звеньев и одно из них имеет постоянную времени , т. е. является одним из звеньев неизменяемой части системы. Теперь составим уравнения (9.78) для определения

Решение этой системы уравнений: Следовательно,

Желаемая передаточная функция замкнутой системы

и аналитическое выражение переходной характеристики

Показатели ее качества с удовлетворяют требованиям. Желаемая передаточная функция разомкнутой системы

и передаточная функция необходимого последовательного корректирующего устройства

Параметры синтезируемой САР (в частности, параметры ее корректирующего устройства) можно определить по критерию сближения [120]. Сущность метода заключается в следующем. Пусть по требованиям к качеству регулирования выбрана передаточная функция замкнутой системы. Известна также в общем виде действительная передаточная функция замкнутой системы, состоящей из неизменяемой части и корректирующего устройства. Передаточным функциям и Ф соответствуют весовые функции

Необходимо выбрать параметры передаточной функции Ф, при которых весовая функция минимально отличается от Сближение весовых функций можно оценивать текущим критерием

интегральным квадратичным критерием

а также более сложными интегральными квадратичными критериями.

Изображение по Лапласу текущего критерия сближения

Доказано [120], что по модулю комплексной функции можно найти действительную часть комплексной функции

а мнимую часть этой комплексной функции определяет интегральный квадратичный критерий сближения:

Таким образом, после определения следует выбрать комплексную функцию так, чтобы у этих двух функций были одинаковые знаменатели и равные степени числителей. Тогда можно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях со числителей левой и правой части равенства (9.82). Полученная система алгебраических уравнений позволит определить коэффициенты числителя функции Затем можно отыскать значение по формуле (9.83).

Выражение для будет содержать выбираемые параметры передаточной функции Ф. Их значения должны быть определены по минимуму (см. п. 9.2), и при этом будет достигнуто возможное приближение весовой функции к В случае недостаточного сближения следует изменить вид передаточной функции Ф или число выбираемых параметров. Расчет можно проводить на цифровой ЭВМ [5].

Пример 9.10. Передаточная функция замкнутой системы

Выбрать параметрт так, чтобы весовая функция, соответствующая этой передаточной функции, максимально приближалась к весовой функции, соответствующей передаточной функции

Прежде всего, пользуясь формулой (9.81), определим изображение по Лапласу текущего критерия сближения:

где

Следовательно,

Выберем

и составим равенство

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях со числителей левой и правой части составленного равенства:

Решив полученную систему уравнений, определим

Далее составим выражение для квадратичного интегрального критерия сближения по формуле (9.83):

Подставим значение и затем значения

Определим условие минимума функции

Рис. 9.26. Весовые функции и переходные характеристики

Полученное уравнение имеет следующие корни:

Постоянная времени форсирующего звена есть положительная величина. Следовательно,

Проверим, что при этом значении квадратичный интегральный критерий сближения действительно имеет минимум: при при и при

Итак, весовая функция соответствующая передаточной функции

где максимально приближается (судя по минимуму квадратичного интегрального критерия сближения) к весовой функции соответствующей передаточной функции

Графики показаны на рис. 9.26. Там же помещены графики переходных характеристик

Заметное различие между и а также между и при объясняется прежде всего значительным отличием структуры передаточной функции Ф от структуры Кроме того, играет роль свойство квадратичной интегральной оценки, использованной при расчете. Более высокие результаты можно получить при использовании улучшенной квадратичной интегральной оценки.