5.1. ПОСТРОЕНИЕ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

Для построения АФЧХ должна быть известна передаточная функция разомкнутой системы или экспериментально полученная АФЧХ объекта регулирования и передаточная функция

В первом случае по передаточной функции нужно определить частотную передаточную функцию и затем представить ее в алгебраическом или показательном виде.

После подстановки в передаточную функцию получим

где — полиномы от .

Чтобы представить в алгебраическом виде, нужно числитель и знаменатель умножить на комплексное число, сопряженное со знаменателем, и затем отделить действительную часть от мнимой. В результате

где

Затем целесообразно сначала определить характерные точки ее точки при предельных значениях со и точки пересечения характеристикой осей координат.

Частоты, при которых характеристика пересекает ось ординат или ось абсцисс, находят соответственно из уравнений

Искомыми частотами являются действительные положительные значения со. Найденные значения частот позволяют определить

по рапенствам (5.4) значения ординат абсцисс, при которых АФЧХ пересекае эти оси.

После нанесения характерных точек на комплексную плоскость вырисовывается расположение АФЧХ. Иногда этого оказывается достаточным для достижения цели, с которой строится характеристика. Если необходимо иметь точное ее расположение, то можно установить, при каких значениях частоты необходимо вычислять значения и и и наносить дополнительные точки. Таким образом, предварительное определение характерных точек АФЧХ существенно упрощает расчет, что особенно важно при ручном счете.

Пример 5.1. Построить АФЧХ разомкнутой САР, если ее передаточная функция

где с.

Определим частотную передаточную функцию и выделим ее действительную и мнимую части:

где

Определяем значения и V при предельных значениях со:

Составим условие пересечения АФЧХ оси ординат:

Полученное биквадратное уравнение имеет один положительный действительный корень Следовательно, АФЧХ пересекает ось ординат при

Составим условие пересечения АФЧХ оси абсцисс:

Биквадратное уравнение

имеет один положительный действительный корень Следовательно, АФЧХ пересекает ось абсцисс при

Рис. 5.1. Ориентировочное расположение АФЧХ

Полученные результаты и выражения для позволяют сделать следующее заключение о расположении

На основании этих сведений построена ориентировочная АФЧХ (рис. 5.1). По ней уже можно решить вопрос, например, об устойчивости данной системы в замкнутом состоянии (см. гл. 6). Для уточнения АФЧХ следует, по-видимому, вычислить значения и V при

Частотную передаточную функцию, определяемую выражением (5.2), можно представить в показательном виде:

где

По формулам (5.7) можно вычислить длины и фазовые углы векторов при различных значениях со и затем построить АФЧХ. Предварительно целесообразно определить ее характерные точки при и точки пересечения осей координат. Условиями пересечения осей ординат и абсцисс являются соответственно равенства

Пример 5.2. Построить АФЧХ разомкнутой САР по ее передаточной функции

где

Определим частотную передаточную функцию

где

Рис. 5.2. Построение

При предельных значениях

Условие пересечения АФЧХ оси ординат

Из этого уравнения определим действительное положительное значение частоты:

Условие пересечения оси абсцисс

Уравнению удовлетворяет действительное положительное значение частоты

Итак, АФЧХ начинается на оси абсцисс и Затем при эта ось пересекается, и при пересекается ось ординат. Заканчивается характеристика в начале осей координат. На основании этих сведений наметим частоты для вычисления А и .

Результаты вычислений, которые удобно свести в таблицу, соответственно: и град.

Теперь можно построить АФЧХ (рис. 5.2). Для каждой частоты проведем радиус-вектор под углом (угол отсчитывается от положительной действительной полуоси против часовой стрелки) и на него нанесем точку на расстоянии от начала осей координат. Плавная кривая, соединяющая эти точки, является искомой АФЧХ.

Иногда возникает задача построения АФЧХ разомкнутой САР по частотным характеристикам и объекта регулирования и частотным характеристикам регулятора. Частотная передаточная функция последовательного соединения элементов равна произведению частотных передаточных функций этих элементов, поэтому

Данное соотношение позволяет вычислить значения А и при различных частотах и построить АФЧХ разомкнутой системы.

Если частотные характеристики и объекта регулирования получены экспериментально, то и значения частотных характеристик регулятора следует вычислить при тех же частотах, при которых проводился эксперимент (такое построение выполнено в примере 6.5).