5.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

Данная характеристика позволяет построить приближенную переходную характеристику (см. п. 4.3), поэтому ее часто используют при инженерных расчетах. Характеристику определяют не только аналитически — по передаточной функции замкнутой системы, но также и графоаналитически, по одной из частотных характеристик разомкнутой системы. При этом используют характеристику, построенную ранее для других целей, и, таким образом, уменьшаются общие затраты времени на расчет.

Аналитическое определение Р. Каждая из передаточных функций замкнутой системы может быть представлена в виде

где

В этом случае

При определении характеристики следует рассчитать ряд частот, равномерно отстоящих друг от друга. Затем выбрать дополнительные частоты на участках, где могут быть экстремумы или имеет место быстрое изменение характеристики. Весь расчет целесообразнее заносить в таблицу. При ручном счете и наличии таблиц с обратными значениями чисел расчет удобно вести по правой части выражения (5.44).

Определение Р по АФЧХ разомкнутой системы. Значения Р могут быть найдены с помощью вещественной круговой диаграммы

Рис. 5.17. Определение вещественной частотной характеристики системы с единичной обратной связью по АФЧХ ее разомкнутой цепи

(см. рис. 5.3 и 5.4). Кроме того, используют графоаналитический метод, который дает более точные результаты, так как значения Р определяют по точкам АФЧХ, соответствующим выбранным частотам.

Пусть обратная связь — единичная. Следовательно, частотная передаточная функция замкнутой системы определяется равенством (5.10). Тогда на комплексной плоскости нужно провести окружность через начало осей координат и точку А с координатами Затем провести прямые через точку А и каждую из выбранных точек АФЧХ (рис. 5.17) так, чтобы эти прямые пересекали окружность. Значение соответствующее выбранной точке АФЧХ равно отношению двух отрезков:

Возможны три случая, показанные на рис. 5.17. При частоте точка находится вне окружности и справа от прямой, проведенной через точку А параллельно оси ординат. Этой частоте соответствует положительное значение

При частоте точка также находится вне окружности, но слева от прямой, параллельной оси ординат. Этой частоте соответствует положительное значение

При частоте точка находится внутри окружности. Значение Р отрицательное:

На рис. 5.18 показано, как определить основные параметры характеристики [12]. Окружность с центром, расположенным на оси абсцисс, проходит через точку А и касается АФЧХ в точке, которой соответствует экстремальное значение Р. Экстремум Р положительный, если центр окружности] расположен левее

Рис. 5.18. Определение основных параметров вещественной частотной характеристики системы с единичной обратной связью по АФЧХ ее разомкнутой цепи

точки А. Он имеет место при частоте и определяется длиной радиуса этой окружности:

Экстремум Р отрицательный, если центр окружности расположен правее точки А:

Для случая, показанного на рис. 5.18,

Частоте при которой АФЧХ пересекает окружность, проходящую через начало осей координат и точку Л, соответствует

Вещественная частотная характеристика может быть определена графоаналитически по обратной и по передаточной функции замкнутой системы [69].

Определение Р по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы. Значения вещественной частотной характеристики системы с единичной обратной связью определяются формулой

Здесь и — фаза и логарифмическая амплитуда разомкнутой цепи этой системы.

Формула (5.48) позволяет построить номограмму (рис. 5.19), которая представляет собой семейство линий равных значений Р, построенное в плоскости Ось абсцисс охватывает значения от 0 до —360°. Ось ординат охватывает значения Р от —28 до +28 дБ.

Номограммой пользуются так: отыскивают точку, соответствующую значениям Ф и при выбранной частоте и положение этой точки относительно семейства кривых определяет значение

Если определяют всю характеристику Р, то удобно сначала на прозрачной бумаге построить кривую Ее строят, конечно, при тех же масштабах по осям и что и номограмму. Затем этот график накладывают на номограмму и определяют значения Р при ряде частот.

Рис. 5.19. (см. скан) Номограмма для определения вещественной частотной характеристики Р системы с единичной обратной связью по логарифмическим частотным характеристикам и ее разомкнутой цепи

Значения Р вблизи точки —180° с большей точностью можно определить по табл. 5.8.

Определение Р по кривой D-разбиения. При исследовании влияния параметров системы на ее устойчивость строят кривые -разбиения (см. п. 6.10), которые могут быть использованы для определения вещественной частотной характеристики замкнутой системы.

Наиболее просто определить значения Р, если имеется кривая -разбиения по передаточному коэффициенту разомкнутой системы с единичной обратной связью. Для определения значения Р при выбранной частоте нужно из начала осей координат опустить перпендикуляр на прямую, соединяющую точки А и (рис. 5.20). Точка А находится на оси абсцисс и соответствует значению системы, а точка — на кривой -разбиения и соответствует выбранной частоте Значение вещественной частотной характеристики

Таблица 5.8 (см. скан) Значения вещественной частотой характеристики замкнутой системы

Возможны два случая, которые и показаны на рис. 5.20. Точка соответствующая частоте расположена левее прямой параллельной оси ординат и проходящей через точку А. В этом случае

Точка соответствующая частоте расположена правее указанной прямой В этом случае

Точка кривой -разбиения, лежащая на прямой соответствует частоте при которой Одна ветвь кривой D-разбиения позволяет построить всю характеристику Р.

Если кроме кривой D-разбиения построить дополнительную кривую, то можно графоаналитически определить вещественную частотную характеристику системы с неединичной обратной связью [69]. Для определения этой характеристики при единичной

Рис. 6.20. Определение вещественной частотной характеристики системы с единичной обратной связью по кривой -разбиения

обратной связи может быть использована кривая D-разбиения по любому параметру, линейно входящему в характеристическое уравнение [19, 69].