8.2. ОБЕСПЕЧЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ И УВЕЛИЧЕНИЕ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ

Способы обеспечения устойчивости (стабилизации) замкнутых САР и придания им необходимого запаса устойчивости (демпфирования) разнообразны. Уже отмечали возможность решения задачи выбором основных элементов регулятора и изменением их динамических свойств местными обратными связями. При этом можно руководствоваться следующими рекомендациями [74]. Если сопрягающая частота апериодического или колебательного звена расположена левее частоты среза ЛАЧХ разомкнутой системы, а сопрягающая частота форсирующего звена расположена правее частоты среза, то увеличение постоянной времени каждого

из этих звеньев ведет к увеличению запаса устойчивости. Указанная зависимость справедлива лишь при условии, что сопрягающая частота расположена на некотором удалении (около декады) от частоты среза. Встречаются, однако, структуры, для которых эти рекомендации не выполняются.

Другой и более распространенный путь стабилизации и демпфирования — введение в систему дополнительных звеньев. Их включают последовательно в прямую цепь системы, параллельно отдельным участкам или с охватом участков обратной связью. В качестве дополнительных используют интегрирующее, апериодическое, дифференцирующее, форсирующее и чаще всего более сложные интегро-дифференцирующие звенья.

Эти способы улучшения динамических свойств отличаются один от другого влиянием на частотные характеристики разомкнутой системы. Основными являются три способа, приведенные ниже.

1. Демпфирование с подавлением высоких частот (демпфирование с внесением отрицательных фазовых сдвигов). В этом случае устойчивость замкнутой САР и достаточный запас устойчивости обеспечивают приданием разомкнутой системе способности подавлять гармонические колебания, частота которых превышает некоторое значение

Если разомкнутая САР состоит из безынерционных, апериодических, колебательных и форсирующих звеньев, то для подавления высоких частот достаточно включить апериодическое звено с достаточно большой постоянной времени Значение должно быть выбрано так, чтобы частота среза «с измененной ЛАЧХ находилась в диапазоне частот, при которых ординаты исходной ЛАЧХ еще весьма мало отличаются от и ординаты исходной ЛФЧХ — от нуля. В этом случае остальными постоянными времени можно пренебречь и приближенно считать, что передаточная функция разомкнутой системы

Следовательно, замкнутая система устойчива и имеет вполне достаточный запас устойчивости. При увеличении запас устойчивости не изменится, если одновременно увеличивать так, чтобы оставалось неизменным отношение

Пример 8.3. Передаточная функция разомкнутой САР

где .

Выяснить, как повлияет на свойства системы включение в ее прямую цепь апериодического звена с постоянной времени .

Рис. 8.9. Логарифмические частотные характеристики цепи из трех апериодических звеньев

По логарифмическим частотным характеристикам и разомкнутой САР (рис. 8.9) заключаем, что при замыкании она будет неустойчива. Характеристики разомкнутой САР с дополнительным апериодическим звеном свидетельствуют об ее устойчивости в замкнутом состоянии. Запас устойчивости по фазе . Постоянная времени дополнительного звена имеет меньшее значение, чем следует по ранее сделанным рекомендациям, так как значение соса не близко к нулю. Однако получены вполне приемлемые результаты (достаточное значение поскольку ближайшая сопрягающая частота создается апериодическим звеном. Рекомендации же предполагают наихудший случай, когда эта сопрягающая частота создается колебательным звеном.

Демпфирование статических систем можно осуществить не только апериодическим, но и более сложным интегро-дифференцирующим звеном с передаточной функцией

В этом случае постоянная времени может иметь меньшее значение, чем рекомендовано для апериодического звена.

Интегро-дифференцирующее звено с передаточной функцией обеспечивает подавление высоких частот и достаточный запас устойчивости и в астатических системах первого порядка.

Передаточные функции систем — разомкнутой статической и астатической с дополнительным интегро-дифференцирующим звеном при достаточно больших — соответственно

В системах с астатизмом второго порядка демпфирование с подавлением высоких частот дает нужные результаты только в некоторых случаях.

Преимущество рассмотренного способа в том, что дополнительное звено с большой постоянной времени представляет собой фильтр низких частот и подавляет высокочастотные помехи. Недостаток способа — значительное уменьшение быстродействия системы.

2. Демпфирование с поднятием высоких частот (демпфирование с внесением положительных фазовых сдвигов). Устойчивость и нужный запас устойчивости обеспечивают посредством увеличения способности разомкнутой системы пропускать гармонические колебания, частота которых выше некоторого значения

Для этого необходимо в прямую цепь САР включить форсирующее звено с передаточной функцией . Это звено создает положительный фазовый сдвиг , который в области высоких частот приближается к 90° и увеличивает амплитуду раз, т. е. тем сильнее, чем выше частота.

Если влияние одного форсирующего звена оказывается недостаточным, то включают последовательно два таких звена с постоянными времени Тогда положительный фазовый сдвиг имеет две составляющие: и амплитуда увеличивается в раз.

При использовании реального форсирующего звена с передаточной функцией

где необходимо дополнительное увеличение передаточного коэффициента остальной части разомкнутой цепи в раз.

Постоянная времени ограничивает диапазон высоких частот, на котором вносится положительный фазовый сдвиг. Однако, чем больше по сравнению с тем меньше влияние постоянной

Вместо последовательных форсирующих звеньев могут быть использованы эквивалентные по влиянию местные обратные связи.

Демпфирование с поднятием высоких частот является теоретически универсальным способом и дает желаемый результат практически при любой передаточной функции исходной системы, в том числе и при наличии неминимально-фазовых звеньев. Преимущество этого метода также и в увеличении быстродействия системы. Однако способ имеет и весьма существенный недостаток: при дифференцировании сигнала повышается уровень высокочастотных помех.

Пример 8.4. Выяснить, как повлияет на свойства САР, рассмотренной в примере 8.3, включение форсирующего звена с передаточной функцией

На рис. 8.10 показаны логарифмические частотные характеристики разомкнутой исходной системы и характеристики системы с форсирующим звеном. Поднятие высоких частот обеспечивает устойчивость замкнутой системы и запас устойчивости по фазе .

3. Демпфирование с подавлением средних частот также стабилизирует САР и создает достаточный запас устойчивости. Достигается это включением в прямую цепь системы интегро-дифференцирующего

Рис. 8.10. Логарифмические частотные характеристики цепи из трех апериодических и форсирующего звеиа

Рис. 8.11. Логарифмические частотные характеристики цепи из трех апериодических и интегро-дифференцирующего звена

звена второго порядка с передаточной функцией

где постоянные времени меньше и больше

Вместо последовательного звена можно создать эквивалентную по влиянию местную обратную связь.

При подавлении средних частот быстродействие системы уменьшается, но обычно незначительно. Данный способ демпфирования наиболее распространен по сравнению с двумя первыми.

Пример 8.5. Выяснить, как повлияет на свойства САР, рассмотренной в примере 8.3, включение интегро-дифференцирующего звена с передаточной функцией.

На рис. 8.11 представлены логарифмические частотные характеристики исходной системы в разомкнутом состоянии и ее характеристики и при включении интегро-дифференцирующего звена. Подавление средних частот обеспечило устойчивость замкнутой системы и запас устойчивости по фазе .

Во многих случаях рассмотренные способы комбинируют в зависимости от того, каковы частотные характеристики САР, устойчивость которой необходимо обеспечить. Может оказаться необходимым подавление средних частот с одновременным поднятием высоких частот, усиление части высоких частот и подавление другой их части и т. д.

При наличии в системе консервативного или колебательного звена с малым затуханием хорошие результаты дает демпфирование с введением отрицательных фазовых сдвигов [10]. Для этого

Рис. 8.12. Амплитудно-фазовые частотные характеристики исходной и скорректированной системы

в прямую цепь САР включают неминимально-фазовое звено, например, с передаточной функцией

Звено не изменяет амплитудно-частотной характеристики системы и создает отрицательные фазовые сдвиги, так как

В результате обеспечивается устойчивость и не изменяется быстродействие системы.

Пример 8.6. Передаточная функция разомкнутой САР

где

Выяснить, как повлияет на свойства САР включение в ее прямую цепь неминимально-фазового звена с передаточной функцией (8.22) при с. Частотная передаточная функция разомкнутой цепи исходной САР

где

Определим основные точки АФЧХ разомкнутой САР:

Полученные данные позволяют выяснить вид АФЧХ (кривая 1 на рис. 8.12). Пользуясь критерием устойчивости Найквиста, определяем, что исходная система в замкнутом состоянии неустойчивая.

Частотная передаточная функция разомкнутой САР с дополнительным звеном

где

По выражениям для U и V находим

Полученные данные определяют вид АФЧХ (кривая 2 на рис. 8.12) и позволяют сделать вывод об устойчивости замкнутой системы с дополнительным звеном.

Неминимально-фазовое звено создает дополнительные фазовые сдвиги, и АФЧХ как бы закручивается вокруг начала осей координат по часовой стрелке. В результате удовлетворяется необходимое и достаточное условие устойчивости замкнутой системы.