9.1. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ПО ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТИ

Простейшая задача синтеза САР — это выбор ее параметров при известной структуре по заданной точности (допустимой ошибке) в установившемся режиме. Иногда выбору подлежит лишь один параметр — передаточный коэффициент разомкнутой системы.

Часто при обеспечении необходимой точности воспроизведения задающего воздействия предполагают, что при этом будет достаточное уменьшение влияния возмущений.

После удовлетворения требований к точности всегда необходима проверка устойчивости и наличия необходимого запаса устойчивости.

Рассмотрим несколько вариантов решения задачи обеспечения заданной точности.

1. Выбирают значение обеспечивающее заданное значение коэффициента статизма.

По определению коэффициент статизма , следовательно, он будет иметь заданное значение если

2. Выбирают значение при котором установившаяся ошибка слежения в астатической системе не будет превышать если задающее воздействие где постоянные.

В астатической системе коэффициенты ошибки поэтому па основании формулы (7.6)

3. Отыскивают ограничение на логарифмическую амплитудно-частотную характеристику разомкнутой астатической системы, при котором коэффициенты ошибки слежения не более

Предположим, что среднечастотная асимптота ЛАЧХ достаточно велика (рис. 9.1, а). Тогда передаточная функция разомкнутой системы

где

По формулам поз. 2 в табл. 7.1 коэффициенты ошибки слежения в данном случае имеют значения

При достаточно большом вторым членом в выражении для можно пренебречь. Тогда из составленных равенств следует, что низкочастотная часть ЛАЧХ должна удовлетворять требованиям

Если низкочастотная часть ЛАЧХ имеет форму, показанную на рис. 9.1, б, в и г, то при аналогичных допущениях требования к ней выражаются соответственно следующими неравенствами:

4. Отыскивают значение при котором установившаяся ошибка в статической системе не должна превышать Р, если задающее воздействие и возмущение постоянные и равны соответственно

Рис. 9.1. Основные варианты низкочастотной части ЛАЧХ разомкнутой астатической системы

В установившемся режиме (при единичной обратной связи).

где — передаточный коэффициент цепи от возмущения до регулируемой координаты.

Следовательно, необходимо иметь

5. Находят ограничение на логарифмическую амплитудно-частотную характеристику разомкнутой системы, при котором установившаяся ошибка слежения от гармонического задающего воздействия не превышает

где — передаточные функции разомкнутой системы и замкнутой системы для ошибки слежения.

Следовательно, необходимо иметь

и ЛАЧХ разомкнутой системы должна проходить не ниже контрольной точки В (рис. 9.2, а) с координатами

Рис. 9.2. Построение для низкочастотной части ЛАЧХ разомкнутой следящей системы: а — контрольной точки; б — запретной зоны

Пример 9.1. Задающее воздействие следящей системы где и ее передаточная функция

где с.

Определить минимальное значение при котором установившаяся ошибка не превысит 0,025°.

Определим координаты контрольной точки, пользуясь формулой (9.9):

Нанесем на график контрольную точку В (рис. 9.3). Затем строим ЛАЧХ разомкнутой системы так, чтобы ее низкочастотная асимптота проходила через контрольную точку В. По ЛАЧХ определяем, что дБ. Следовательно, и искомое значение передаточного коэффициента разомкнутой системы

Для проверки устойчивости системы при этом значении строим ЛФЧХ. Пользуясь критерием устойчивости Найквиста, заключаем, что замкнутая система устойчива, но запас устойчивости по фазе составляет лишь 26°.

6. Отыскивают ограничение на ЛАЧХ разомкнутой системы, при котором установившееся значение ошибки слежения не превышает если задающее воздействие изменяется с максимальной скоростью и максимальным ускорением

В данном случае удобно рассматривать эквивалентное гармоническое задающее воздействие

изменяющееся с заданными максимальными значениями скорости и ускорения:

Эти равенства удовлетворяются при

Рис. 9.3. Логарифмические частотные характеристики к примеру 9.1

На основании формул (9.9) и (9.10) заключаем, что ЛАЧХ разомкнутой системы должна проходить не ниже контрольной точки В (рис. 9.2, б) с координатами

Пусть скорость изменения задающего воздействия остается максимальной, а ускорение уменьшается. По формулам (9.11) видно, что при этом контрольная точка В будет перемещаться влево по прямой с наклоном

Если скорость изменения задающего воздействия уменьшается, а ускорение остается максимальным, то контрольная точка на рис. 9.2, б будет перемещаться вправо по прямой с наклоном

Построенные прямые ограничивают сверху область, в которую не должна заходить ЛАЧХ разомкнутой системы. В частности, передаточный коэффициент астатической системы первого порядка (добротность по скорости) должен удовлетворять неравенству

а коэффициент астатической системы второго порядка (добротность по ускорению) неравенству

Если сопрягающая частота одного из апериодических звеньев равна то ограничивающие прямые на рис. 9.2, б следует поднять на 3 дБ.

Пример 9.2. Скорость и ускорение задающего воздействия следящей системы могут иметь максимальные значения соответственно а передаточная функция ее разомкнутой цепи

где

Определить минимальное значение при котором установившаяся ошибка слежения не превысит град.

Рис. 9.4. Логарифмические час! отные характеристики к примеру 9.2

По формулам (9.11) определим координаты контрольной точки В:

Наносим контрольную точку В (рис. 9.4) и проводим от нее прямую с наклоном в сторону низких частот и прямую с наклоном в сторону высоких частот. Область, в которую направлена штриховка, является запретной для ЛАЧХ разомкнутой системы.

Пользуясь формулой (9.12), определим минимально допустимое значение передаточного коэффициента:

Теперь построим асимптотическую ЛАЧХ разомкнутой системы. Ее низкочастотная асимптота совпадает с граничной прямой, а остальная часть ЛАЧХ изображена линией 2, которая заходит в запретную зону.

ЛАЧХ для удовлетворения требования к точности должна занимать положение, показанное на рис. 9.4 линией 1. Ордината этой ЛАЧХ дБ, т. е. необходимо иметь

Для проверки устойчивости на рис. 9.4 построена ЛФЧХ разомкнутой системы при На основании критерия устойчивости Найквиста заключаем, что в этом случае система неустойчива. Следовательно, необходимо корректирующее устройство, обеспечивающее соответствующий запас устойчивости.

Запретная область для ЛАЧХ разомкнутой системы, обеспечивающей заданную точность, может быть построена [8] при неединичной обратной связи, для статической системы и с учетом возмущения.