6.8. ВЛИЯНИЕ МАЛЫХ ПАРАМЕТРОВ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Иногда один или несколько параметров САР оказываются малыми по сравнению с другими. Возникает желание пренебречь этими малыми параметрами (считать их равными нулю) и понизить порядок уравнения (передаточной функции) для упрощения расчетов. Если это не влияет на устойчивость, то САР является грубой в смысле А. А. Андронова. Однако может оказаться, что малые параметры влияют на устойчивость, и расчет по упрощенному уравнению приведет к неверным выводам. Такая САР является негрубой. Следовательно, в каждом случае необходимо выяснить, нужно ли учитывать малые параметры или ими можно пренебречь.

Пусть характеристическое уравнение САР может быть приведено к виду

где малый параметр.

Малый параметр не влияет на устойчивость, и ее можно исследовать [63] по вырожденному характеристическому уравнению

если при при

Если то отбрасывать малый параметр нельзя и устойчивость САР необходимо исследовать по характеристическому уравнению (6.20).

Пример 6.13. Исследовать на устойчивость САР, характеристическое уравнение которой

где

Приведем характеристическое уравнение к виду (6.20):

В данном случае

Следовательно, параметром можно пренебречь и исследовать устойчивость по вырожденному характеристическому уравнению

По критерию Гурвица система устойчива, так как все коэффициенты этого уравнения положительные и

Предположим, что характеристическое уравнение системы содержит малых параметров каждый из которых

повышает порядок характеристического уравнения на единицу. Выразим их через один малый параметр

где — величины, сопоставимые с другими параметрами системы.

Тогда характеристическое уравнение приводится к виду

Чтобы при малом система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вырожденное характеристическое уравнение

и вспомогательное уравнение

каждое порознь, удовлетворяли условиям устойчивости [19]. Вместо одного полного характеристического уравнения исследуют два более простых.

Пример 6.14. Передаточная функция разомкнутой

где .

Исследовать устойчивость этой САР в замкнутом состоянии, считая параметры малыми.

Примем Тогда Составим полное характеристическое уравнение замкнутой САР:

Составим вырожденное характеристическое уравнение, приравняв нулю все члены, содержащие

Условие устойчивости по критерию Гурвица выполняется, так как все коэффициенты этого уравнения положительные и

Составим вспомогательное уравнение по формуле (6.24):

Условие устойчивости по критерию Гурвица для этого уравнения также выполняется: все его коэффициенты положительные и

Следовательно, рассматриваемая САР в замкнутом состоянии устойчивая.

Пусть малымиг параметрами являются постоянные времени и нескольких апериодических и колебательных звеньев, а передаточная функция разомкнутой системы

где и — полиномы от соответственно степени которые не содержат малых параметров

Тогда устойчивость можно определять по вырожденной передаточной функции

и оценить влияние малых параметров на запас устойчивости по фазе [19].

Параметры и достаточно малы и сопрягающие частоты значительно больше частоты среза построенной по частотной передаточной функции Поэтому малые параметры создают малые дополнительные сдвиги по фазе при частоте Их сумма (в рад)

Запас по фазе вследствие этого влияния малых параметров уменьшается и становится равным

где — запас по фазе (в град), определенный по частотной передаточной функции

Пример 6.15. Выяснить устойчивость и определить запас по фазе САР, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии

где

Постоянные времени примем за малые параметры и определим устойчивость по вырожденной передаточной функции

Для построения ЛЧХ имеем ; сопрягающие частоты

По характеристикам (6.22) заключаем: замкнутая САР устойчива и запас по фазе .

Рис. 6.22. Логарифмические частотные характеристики, построенные по вырожденной передаточной функции

Затем по формуле (6.27) вычислим сдвиг по фазе при частоте среза сос, вызываемый малыми параметрами:

Следовательно, действительный запас устойчивости

В данном случае параметры, принятые за малые, существенно влияют на запас устойчивости по фазе, так как эти параметры (постоянные времени лишь на один-два порядка отличаются от основных (от постоянных времени ).