2.5. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Для оценки установившихся режимов оказалось более удобным рассматривать поведение элементов и систем при воздействиях, являющихся периодическими функциями времени. В качестве таких воздействий были выбраны гармонические воздействия, что обусловлено несколькими обстоятельствами: 1) реально

встречающиеся воздействия, как правило, могут быть представлены в виде суммы гармоник различных частот (разложение Фурье); 2) в установившихся режимах гармонические сигналы передаются линейными элементами и системами без искажений; 3) обычно не возникает затруднений в экспериментальном исследовании поведения таких элементов и систем при гармонических воздействиях.

Пусть на вход стационарного линейного элемента или системы воздействует гармонический сигнал

где — соответственно амплитуда, фаза, угловая частота и период повторения сигнала.

Тогда на выходе с течением времени устанавливается гармонический сигнал

той же угловой частоты, но с измененными амплитудой и фазой. Изменение амплитуды и фазы зависит как от свойств рассматриваемого объекта (от вида его дифференциального уравнения и значения параметров), так и от угловой частоты о гармонического сигнала (см. пример 4.1).

Отношение

и разность

являются функциями частоты, и их называют соответственно амплитудно-частотной характеристикой и фазово-частотной характеристикой рассматриваемого элемента или системы.

Эти характеристики показывают, что линейный элемент или система изменяет амплитуду и фазу гармонического сигнала: в установившемся режиме амплитуда уменьшается или увеличивается в А раз и сдвиг по фазе увеличивается или уменьшается на градусов (радиан) при каждом значении угловой частоты Частотные характеристики зависят от свойств элемента или системы, но не зависят от амплитуды и фазы входных гармонических сигналов (предполагается, что процесс не выходит из зоны линейности).

Частотные характеристики всякого объекта связаны с его передаточной функцией. Подставив в выражение для передаточной функции вместо мнимую величину получим комплексную функцию частоты которую называют частотной передаточной функцией.

Функция при каждом значении частоты является комплексной величиной и поэтому может быть представлена в показательном виде:

Рис. 2.8. Амплитудно-фазовая частотная характеристика

где

Следовательно, модуль и аргумент частотной передаточной функции определяют соответственно амплитудно-частотную и фазово-частотную характеристики.

Функция может быть представлена и в алгебраическом виде:

где

Функции частоты U и V называют соответственно вещественной (действительной) и мнимой частотными характеристиками. Они не имеют конкретного физического смысла, но их используют при расчетах.

Годограф функции т. е. геометрическое место концов векторов при изменении частоты от нуля до бесконечности, представляет собой амплитудно-фазовую частотную характеристику Эту характеристику строят на комплексной плоскости (рис. 2.5). По оси абсцисс откладывают вещественную часть и по оси ординат — мнимую часть V. АФЧХ можно строить и в полярных координатах, откладывая векторы длиной А под углом Углы отсчитываются от положительной действительной полуоси против часовой стрелки.

Частотная передаточная функция есть аналитическое выражение АФЧХ.

На основании равенств легко составить соотношения, связывающие между собой частотные характеристики:

Полезно заметить, что вещественная частотная характеристика есть четная функция частоты, а мнимая частотная характеристика — нечетная функция:

Кроме того, необходимо заметить, что при определенных условиях между амплитудной и фазовой частотными характеристиками, а также между вещественной и мнимой частотными характеристиками существуют однозначные зависимости. Этот вопрос будет рассмотрен в п. 5.4.

При расчетах широко используют логарифмические частотные характеристики; амплитудно-частотную (ЛАЧХ) и фазово-частотную (ЛФЧХ).

При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе, т. е. наносят отметки, соответствующие . Однако около этих отметок указывают значения частоты Отрезок оси абсцисс, соответствующий изменению частоты в 10 раз, называется декадой, а отрезок, соответствующий изменению частоты в 2 раза, — октавой. Декада и октава — это равномерные единицы на оси абсцисс.

Нуль оси абсцисс лежит слева в бесконечности, так как Поэтому при построении графика ЛАЧХ выбирают такой отрезок оси абсцисс, который охватывает нужный диапазон частот.

По оси ординат ЛАЧХ откладывают в равномерном масштабе логарифмическую амплитуду

Децибел (сокращенно дБ) есть внесистемная дольная единица логарифмической величины. Ее используют для того, чтобы графиком можно было охватывать широкий диапазон изменения рассматриваемой величины. Следовательно, — это амплитуда А, выраженная в децибелах.

Пусть, например, графиком нужно охватить изменение А от до Очевидно, что при равномерном масштабе значение будет близко к нулевой линии, но

— —40 дБ, так что отметки этих точек на графике будут хорошо заметны.

ЛФЧХ имеет такую же ось абсцисс, что и ЛАЧХ, а по оси ординат ЛФЧХ откладывают в равномерном масштабе фазу в угловых градусах или радианах.

Оси абсцисс ЛФЧХ и ЛАЧХ обычно совмещают, чтобы изменения фазы можно было сопоставлять с изменениями амплитуды.

Логарифмические частотные характеристики удобны тем, что небольшим графиком может быть охвачен широкий диапазон частот. При этом одинаково наглядно изменение частотных свойств как на малых, так на средних и высоких частотах. Небольшим графиком охватывается и широкий диапазон изменения амплитуды с одинаковой наглядностью изменения больших и малых амплитуд.

Кроме того, оказывается, что значительные участки ЛАЧХ с большой точностью могут быть заменены прямыми линиями — асимптотами. Они имеют отрицательный и положительный наклон, кратный 20 дБ на декаду, т. е.

В ряде случаев можно пренебречь кривизной ЛАЧХ на некоторых небольших участках частоты. Тогда ЛАЧХ изображается отрезками прямых (асимптотами) и называется асимптотической

Рис. 2.9. Типовые асимптотические ЛАЧХ

ЛAЧX. Для ее построения нужны лишь весьма простые вычисления (см. . 5.3).

Наиболее характерный вид имеют ЛАЧХ при следующих значениях модуля А частотной передаточной функции:

а) . В этом случае есть постоянная величина и ЛАЧХ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс (рис. 2.9, а).

б) . Имеем . При имеем и на протяжении одной декады уменьшается на 20 дБ. ЛАЧХ представляет собой прямую с наклоном проходящую через точку В с координатами (рис. 2.9, б).

в) . В этом случае . Так же как и в предыдущем случае, при имеем

Затем с увеличением со увеличивается и на есть прямая с наклоном проходящая через точку В с координатами (рис. 2.9, в);

г) . Теперь

При малых частотах Это низкочастотная асимптота, параллельная оси абсцисс. При больших частотах Это высокочастотная асимптота, которая уменьшается на Следовательно, асимптотическая ЛАЧХ образуется двумя асимптотами, которые сопрягаются при частоте сос (рис. 2.9, с), так как при этой частоте удовлетворяются уравнения обеих асимптот.

д) . В данном случае Как и в предыдущем случае, асимптотическая ЛАЧХ составляется двумя асимптотами, которые сопрягаются при частоте но высокочастотная асимптота имеет положительный наклон (рис. 2.9, д).

где . В данном случае На малых частотах и на высоких частотах . Асимптотическая ЛАЧХ, как и в двух предыдущих случаях, составляется двумя асимптотами, которые сопрягаются при частоте Низкочастотная асимптота параллельна оси абсцисс, а высокочастотная имеет отрицательный наклон ,

где . В этом случае Асимптотическая ЛАЧХ опять составляется двумя асимптотами, которые сопрягаются при частоте . Низкочастотная асимптота параллельна оси абсцисс, а высокочастотная сот имеет положительный наклон +40 дБ/дек (рис. 2.9, ж).