9.3. КОРНЕВЫЕ МЕТОДЫ

Зависимость переходных процессов (переходной характеристики) САР от значения нулей и полюсов ее передаточной функции рассмотрена в гл. 4. Наиболее сильное влияние оказывают полюса передаточной функции, т. е. корни характеристического уравнения. Поэтому разработан ряд методов синтеза САР, использующих эту зависимость.

Синтез по преобладающим корням [96]. Если вещественные части у двух корней характеристического уравнения значительно меньше по абсолютной величине, чем у других, то эти корни и определяют вид переходной характеристики. Характеристическое уравнение степени в этом случае можно представить в следующем виде:

где коэффициенты соответственно значительно меньше коэффициентов и

Определяющей паре комплексных сопряженных корней будет соответствовать колебательная составляющая переходной характеристики с затуханием за период при соотношении

Это соотношение между коэффициентами следует обеспечивать выбором параметров элементов системы.

Более правильно кроме пары комплексных сопряженных корней отнести к определяющим еще и наименьший вещественный корень. В этом случае характеристическое уравнение

где коэффициенты соответственно значительно меньше коэффициентов

Если выполняются соотношения

то колебательная составляющая будет иметь затухание за период и вещественные части трех определяющих корней будут одинаковыми.

Т. Н. Соколов [96] дает рекомендации для выбора коэффициентов характеристических уравнений и более высоких степеней. Однако использование данного метода ограничено. В сложных системах необходимые значения коэффициентов характеристического уравнения не всегда могут быть получены выбором корректирующего устройства.

Метод стандартных коэффициентов (стандартных передаточных функций [45]). Метод предполагает такой выбор параметров элементов САР с заданной структурой, при котором коэффициенты ее передаточной функции принимают заранее заданные (стандартные) значения. При этом и переходная характеристика системы будет иметь заранее известную (стандартную) форму.

Пусть передаточная функция разомкнутой САР

Корни характеристического уравнения замкнутой системы будут кратными вещественными отрицательными и равными

Таблица 9.1 (см. скан) Коэффициенты стандартной передаточной функции разомкнутой статической САР

Рис. 9.5. Переходные характеристики при стандартных коэффициентах передаточной функции, выбранных согласно табл. 9.1

если коэффициенты этой передаточной функции выбрать по табл. 9.1. Переходные характеристики в этом случае апериодические (рис, 9.5) и определяются формулой

где

В работах [10, 45] рекомендуются стандартные коэффициенты при другом виде передаточной функции Переходные характеристики будут колебательными с ограниченным перерегулированием и меньшим временем регулирования.

Синтез САР методом стандартных коэффициентов не сложен. Необходимо прежде всего выбрать стандартные коэффициенты, при которых будут удовлетворены требования к динамическим свойствам системы. Затем должна быть составлена система уравнений для определения параметров элементов САР. После ее решения могут быть выбраны эти элементы.

Однако применение данного метода ограничено. Его недостаток в том, что одновременно выбираются все коэффициенты передаточной функции и необходимо иметь по крайней мере варьируемых параметров. Необходимые значения параметров не всегда могут быть физически реализованы прежде всего из-за малого перерегулирования стандартных переходных характеристик.

Типовые характеристические уравнения. Характеристические уравнения для синтеза САР до 8-го порядка включительно предложены в работе [83] и до 12-го порядка включительно в работе [124].

При каждом значении дается значительное число (от 18 до 57) уравнений, отличающихся коэффициентами и, следовательно, распределением корней. Для каждого уравнения указаны показатели качества соответствующей ему переходной характеристики. Даны также значения показателя колебательности и резонансной частоты амплитудно-частотной характеристики соответствующей САР.

Типовые характеристические уравнения дают несколько более широкую возможность удовлетворения требований к динамическим свойствам САР, чем таблицы стандартных коэффициентов. Однако использование типовых характеристических уравнений ограничено по тем же причинам, что и использование таблиц стандартных коэффициентов.

Все же изложенными методами можно получить хотя бы представление о том, к каким значениям параметров элементов системы следует стремиться. В этом несомненное достоинство этих простых методов.

Корневой годограф. Влияние одного из параметров системы на расположение полюсов и нулей ее передаточной функции и, следовательно, на ее динамические свойства позволяет выяснить корневой годограф (см. п. 7.8). Поэтому он может быть использован для выбора какого-либо параметра системы, например параметра корректирующего устройства.

Пусть требуется выбрать значение параметра а. Тогда при постоянных значениях всех остальных параметров нужно задавать различные значения параметра а внутри возможных пределов его изменения и построить траектории корней. Затем можно выбрать такое значение а, при котором имеет место наиболее благоприятное расположение нулей и полюсов или же их расположение, обеспечивающее требуемые показатели качества переходной характеристики.

Корни следует вычислять наиболее простым числовым методом, так как большой точности не требуется из-за приближенности корневых методов оценки качества. Показатели качества приближенно можно легко определить по преобладающей паре комплексно-сопряженных полюсов

т. е. для предварительной оценки можно полагать, что передаточная функция замкнутой системы

Тогда переходная характеристика

где

Приближенные значения показателей качества (перерегулирования, времени регулирования и показателя колебательности) определяются формулами

Рис. 9.6. Графики зависимости перерегулирования относительного времени регулирования и показателя колебательности М от коэффициента демпфирования преобладающей комплексно-сопряженной пары полюсов

Графики зависимости и М от показаны на рис. 9.6.

Продолжительность переходного процесса приближается к минимальной при этом случае и Поэтому значение коэффициента демпфирования является в определенном смысле оптимальным и целесообразно приближать к этому значению. Иногда полагают, что переходная характеристика определяется ближайшим к мнимой оси вещественным полюсом. Более правильно оценивать качество по трем ближайшим к мнимой оси полюсам, из которых два комплексные сопряженные и один вещественный. Еще лучше рассматривать кроме этих трех полюсов и ближайший к мнимой оси нуль. Во всех случаях остальные полюсы и нули должны быть достаточно удалены от мнимой оси или же достаточно близко расположенные полюсы и нули должны быть взаимно скомпенсированы.

Вообще говоря, если известны значения полюсов и нулей передаточной функции замкнутой системы, то не составляет труда определить точное аналитическое выражение переходной характеристики, пользуясь табл. 4.1. Тогда и оценка качества будет точной.

Пример 9.4. Выбрать последовательное корректирующее устройство для САР так, чтобы при иметь . Передаточная функция неизменяемой части системы

где .

По графику рис. 9.6 определим если коэффициент демпфирования определяющей пары комплексно-сопряженных полюсов При этом Следовательно,

Нанесем на комплексную плоскость (рис. 9.7, а) точку и начальные точки корневого годографа

Для того чтобы корни были действительно определяющими, скомпенсируем полюс нулем

Рис. 9.7. Построение точек корневого годографа

Точка будет принадлежать корневому годографу, если для нее будет справедливо уравнение фаз (7.73). Для этого необходимо иметь еще хотя бы одну начальную точку вектор от которой к точке был бы наклонен под углом

Нанесем на чертеж эту начальную точку по назначению и определим

Теперь, пользуясь формулой параметра (7.74), определим значение , соответствующее точке корневого годографа:

Значение к меньше требуемого, и необходимо ввести диполь с отношением

Можно ввести, например, диполь и или

Каждый из этих диполей почти не повлияет на уравнение фаз для точки Однако в корректирующем устройстве потребуются элементы с большими постоянными времени, поэтому диполь с необходимым соотношением создадим изменением нуля Вместо него должен быть нуль

Уравнение фаз для точки будет удовлетворено при

По значению нанесем на чертеж полюс и определим Теперь точке соответствует

что удовлетворяет требованиям.

Составим передаточную функцию необходимого последовательного корректирующего устройства

и определим передаточную функцию системы относительно задающего воздействия:

Показатели качества переходной характеристики . Время регулирования можно считать удовлетворяющим требованиям, но перерегулирование слишком велико.

Для уменьшения перерегулирования уменьшим передаточный коэффициент до Нужно иметь диполь с отношением

Пусть полюсом диполя будет по-прежнему Тогда необходим нуль

Примем (рис. 9.7, б). Уравнение фаз для точки будет удовлетворяться при

По значению нанесем на график (рис. 9.7, б) полюс и определим его значение: Тогда по формуле (7.74)

Значение удовлетворяет требованию. Составим передаточную функцию корректирующего устройства:

и передаточную функцию системы относительно задающего воздействия:

Пользуясь формулой п. 103 табл. 4.1, составим аналитическое выражение переходной характеристики:

Показатели качества переходной характеристики . Можно полагать, что они удовлетворяют требованиям.