4.2. ОТЫСКАНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ

Заключительным этапом решения дифференциального уравнения операционным методом является отыскание оригинала (искомой функции времени) по изображению. Эта операция является обратным преобразованием Лапласа и определяется формулой Однако при инженерных расчетах эту формулу не используют.

Изображение искомой функции времени линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами представляет собой дробно-рациональную функцию комплексной величины или сумму таких функций. Поэтому отыскание оригинала (обращение таких изображений) можно выполнить по формулам табл. П1.3. Первые две формулы применимы к изображениям, имеющим только простые корни знаменателя. Последняя формула является наиболее общей, так как применима к оригиналам с произвольным числом как простых, так и кратных корней знаменателя.

Для определения корней знаменатель оригинала можно сначала разложить на элементарные сомножители, используя, например, приложение 2. Каждому сомножителю соответствует

корень и каждому сомножителю соответствуют корни где

Пример 4.4. Отыскать оригинал, соответствующий изображению

Воспользуемся третьей из формул табл. Ш.З. В данном случае

Для вычисления оригинала составляющей, соответствующей корню кратности 3, определим сначала функции

Следовательно, эта составляющая оригинала

Вычислим составляющую оригинала, соответствующую корню

Итак, искомый оригинал

Для проверки расчета преобразуем функцию по Лапласу, пользуясь табл. П 1.2:

Следовательно, расчет выполнен правильно.

Расчетов, связанных с применением формул табл. 1.3, можно избежать, если изображение разложить на простейшие дроби.

Такое разложение выполнимо для дробно-рациональной функции которой степень знаменателя выше степени числителя.

Предположим, полином представлен в виде произведения элементарных сомножителей

Множителю соответствуют дроби

множителю дроби

и множителю дроби

т. e. отношение разлагается на простейшие дроби, число которых равно После этого Обе части равенства нужно умножить на и сделать сокращения, а затем, приравнивая коэффициенты при равных степенях составить систему алгебраических уравнений, из которой и определить коэффициенты

Составляющие оригинала, соответствующие простейшим дробям, мохно определить непосредственно по табл.

Пример 4.5. Отыскать оригинал, соответствующий изображению

Разлагаем изображение на простейшие дроби:

Приводим обе части равенства к общему знаменателю и отбрасываем его:

Составляем систему уравнений, приравнивая коэффициенты при равных степенях левой и правой части равенства:

Решив эту систему уравнений, определим

Итак,

По табл. П1.2 определим оригинал

Значительное число оригиналов, соответствующих дробнорациональным изображениям, содержится в табл. 4.1. Знаменатели изображений в этой таблице представлены в виде произведения элементарных сомножителей, являющихся знаменателями передаточных функций типовых динамических звеньев. Более обширная таблица (573 формулы) соответствия изображений и оригиналов имеется в работе 160].

Применение этих таблиц можно расширить, используя следующие приемы.

1. Пусть рассматривается изображение, знаменатель которого содержит лишний элементарный сомножитель по сравнению с изображением, имеющимся в табл. 4.1, тогда следует воспользоваться соответствующей формулой из табл. 4.2. Вычисление некоторых наиболее часто встречающихся интегралов дано в табл. 4.3,

Пример 4.6. Определить оригинал по изображению

Это изображение отличается от имеющегося в табл. 4.1 [формула (12)] изображения дополнительным множителем 5 в знаменателе. Поэтому используя формулу табл. 4.2, получим

где

2. Предположим, что знаменатель рассматриваемого изображения можно разложить на сомножители которые являются знаменателями изображений, имеющихся в табл. 4.1. Тогда следует составить равенство

где — степени полиномов соответственно и

Затем обе части равенства нужно привести к общему знаменателю, отбросить его и составить систему уравнений для определения постоянных

Оригиналы, соответствующие двум составляющим рассматриваемого изображения, можно определить по табл. 4.1. Вероятно, что при этом окажется необходимым разделить каждое из составляющих еще на несколько частей.

(кликните для просмотра скана)

Продолжение табл. 4.3 (см. скан)

Пример 4.7. Определить оригинал по изображению

В табл. 4.1 имеются изображения со знаменателями поэтому разлагаем рассматриваемое изображение на два:

Приводим обе части равенства к общему знаменателю и отбрасываем Составим систему уравнений, приравнивая коэффициенты при равных степенях левой и правой части равенства:

Решив эту систему алгебраических уравнений, определим

Итак:

По табл. 4.1 [формулы (13), (10), (11), (12) и (1)] состлтшм искомый оригинал

где

После упрощения

3. Если рассматривается изображение которое разлагается на произведение изображений имеющихся в табл. 4.1, то оригинал определяется теоремой свертывания (табл. П1.1), т. е. изображению соответствует оригинал где есть оригиналы, соответствующие изображениям При вычислении интеграла следует использовать табл. 4.3.

Пример 4.8. Определить оригинал по изображению

В табл. 4.1 такого изображения нет, но есть изображения

на которые разлагается По формулам (9) и (7) табл. 4.1 определим оригиналы, соответствующие изображениям

Затем по теореме свертывания (см. табл. П1.1) определим искомый оригинал (для вычисления интеграла используем табл. 4.3):

Для проверки расчета зададимся некоторыми числовыми значениями параметров, содержащихся в найденном значении у. Положим Тогда

Следовательно, расчет выполнен прапильно.

Теорему свертывания можно применить дважды. Пусть рассматриваемое изображение разлагается на произведение изображений имеющихся в табл. 4.1. Тогда по таблице найдем оригиналы соответствующие изображениям

Затем по теореме свертывания определим оригинал соответствующий изображению После этого вычислим искомый оригинал

Для проверки обратного преобразования Лапласа следует, как правило, выполнять прямое преобразование Лапласа, что было сделано в примере 4.8.