Приложение 3. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯХ

Определитель порядка

содержит строк и столбцов, каждый из которых имеет элементов. Всего элементов Первая цифра в индексе элемента указывает номер строки, вторая — номер столбца.

Приведем основные свойства определителя.

1. Определитель не меняется при транспонировании, т. е. при таком преобразовании, когда его строки становятся столбцами с тем- же самым номером:

Отсюда следует, что строки и столбцы равноправны. Свойства, сформулированные для строк, справедливы и для столбцов.

2. Определитель равен нулю, если он имеет: а) строку, состоящую из нулей; б), две одинаковые строки; в) две пропорциональные строки; г) строку, являющуюся линейной комбинацией других строк.

3. При перестановке двух строк определитель меняет знак.

4. Общий множитель всех элементов одной строки можно вынести за знак определителя.

5. Определитель не меняется, если к элементам одной строки прибавить соответствующие элементы другой, умноженные «а одно и то же число (положительное или отрицательное).

Для вычисления определителя порядка используют его разложение по строке:

т. е. определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки на их алгебраические дополнения.

Алгебраическое дополнение элемента есть

где — минор элемента т. е. определитель порядка, который получается из определителя вычеркиванием строки и столбца.

В результате (П3.3) вычисление определителя порядка заменяется вычислением определителей порядка. Последние также могут быть разложены по формуле и их вычисление сведется к вычислению определителей порядка. Повторяя эту процедуру, вычисление определителя порядка можно свести к вычислению определителей 2-го порядка, которое выполняют по следующему правилу:

Перед разложением определителя по i-й строке удобно, пользуясь свойством 5, приравнять нулям часть элементов этой строки и даже все, кроме одного. Тогда число слагаемых в разложении соответственно уменьшится.

Пример Вычислить определитель

Сначала умножим элементы четвертого столбца на —0,5 и прибавим их к соответствующим элементам первого столбца. Тогда определитель примет следующий вид:

Теперь разложим определитель по элементам первого столбца:

Каждый из определителей третьего порядка разложим по элементам первого столбца:

Вычислив определители второго порядка, получим

Полное сопротивление может быть реализовано в виде RC-двухполюсника, только если оно удовлетворяет следующим условиям:

а) функция представляет собой рациональную дробь, у которой степень числителя равна или на единицу меньше степени знаменателя;

б) полюсы (корни полинома знаменателя) и нули (корни полинома числителя) функции — простые, действительные, отрицательные и перемежаются между собой, т. е. между двумя соседними полюсами находится нуль, и наоборот;

в) наименьшим по абсолютному значению является полюс, он может равняться нулю;

г) наибольшим по абсолютному значению является нуль. Он конечен, если степень числителя функции равна степени знаменателя, и бесконечен, если степень числителя меньше степени знаменателя.

Полная проводимость обратна полному сопротивлению и это соотношение определяет условия, которым должна удовлетворять полная проводимости реализуемая -двухполюс-ником.

В ряде случаев реализуемые значения и удается составить только по формулам

где — полиномы соответственно числителя и знаменателя функции полином выбирают так, чтобы удовлетворяли условиям реализуемости, он может содержать, в частности, двучлены из полиномов М и